Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54932 / 16608
↖ ↑ ↗
← N 79.055138°
W 29.124756°		 ← 57.98 m → N 79.055138°
W 29.122009°		 →
↑
58.04 m
↓
↑
58.04 m
↓
N 79.054616°
W 29.124756°		 ← 57.98 m →
3 365 m²		 N 79.054616°
W 29.122009°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419101715087891 y=0.126712799072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419101715087891 × 217)
    floor (0.419101715087891 × 131072)
    floor (54932.5)     		tx = 54932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126712799072266 × 217)
    floor (0.126712799072266 × 131072)
    floor (16608.5)     		ty = 16608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54932 / 16608 ti = "17/54932/16608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54932/16608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54932 ÷ 217
    54932 ÷ 131072     		x = 0.419097900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16608 ÷ 217
    16608 ÷ 131072     		y = 0.126708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419097900390625 × 2 - 1) × π
    -0.16180419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50832288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126708984375 × 2 - 1) × π
    0.74658203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.34545662461011
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50832288} λ = -0.50832288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34545662461011))-π/2
    2×atan(10.438037904506)-π/2
    2×1.47528438151655-π/2
    2.95056876303309-1.57079632675     		φ = 1.37977244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50832288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.124756°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37977244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.055138°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54932 KachelY 16608 -0.50832288 1.37977244 -29.124756 79.055138
    Oben rechts KachelX + 1 54933 KachelY 16608 -0.50827495 1.37977244 -29.122009 79.055138
    Unten links KachelX 54932 KachelY + 1 16609 -0.50832288 1.37976333 -29.124756 79.054616
    Unten rechts KachelX + 1 54933 KachelY + 1 16609 -0.50827495 1.37976333 -29.122009 79.054616
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37977244-1.37976333) × R
    9.10999999992335e-06 × 6371000     		dl = 58.0398099995116m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37977244-1.37976333) × R
    9.10999999992335e-06 × 6371000     		dr = 58.0398099995116m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50832288--0.50827495) × cos(1.37977244) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.18986425697514 × 6371000     		do = 57.9773349344057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50832288--0.50827495) × cos(1.37976333) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.189873201259552 × 6371000     		du = 57.9800661792508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37977244)-sin(1.37976333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18986425697514-0.189873201259552)×R²
    abs(-0.50827495--0.50832288)×8.94428441228223e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.94428441228223e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.94428441228223e-06×40589641000000     		ar = 3365.07276437949m²