Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54932 / 14294
↖ ↑ ↗
← N 80.198371°
W 29.124756°		 ← 51.98 m → N 80.198371°
W 29.122009°		 →
↑
51.99 m
↓
↑
51.99 m
↓
N 80.197904°
W 29.124756°		 ← 51.99 m →
2 703 m²		 N 80.197904°
W 29.122009°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54932 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14294 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419101715087891 y=0.109058380126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419101715087891 × 217)
    floor (0.419101715087891 × 131072)
    floor (54932.5)     		tx = 54932
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109058380126953 × 217)
    floor (0.109058380126953 × 131072)
    floor (14294.5)     		ty = 14294
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54932 / 14294 ti = "17/54932/14294"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54932/14294.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54932 ÷ 217
    54932 ÷ 131072     		x = 0.419097900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14294 ÷ 217
    14294 ÷ 131072     		y = 0.109054565429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419097900390625 × 2 - 1) × π
    -0.16180419921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50832288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109054565429688 × 2 - 1) × π
    0.781890869140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.45638261033092
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50832288} λ = -0.50832288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45638261033092))-π/2
    2×atan(11.6625471650817)-π/2
    2×1.48526097759424-π/2
    2.97052195518849-1.57079632675     		φ = 1.39972563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50832288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.124756°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39972563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.198371°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54932 KachelY 14294 -0.50832288 1.39972563 -29.124756 80.198371
    Oben rechts KachelX + 1 54933 KachelY 14294 -0.50827495 1.39972563 -29.122009 80.198371
    Unten links KachelX 54932 KachelY + 1 14295 -0.50832288 1.39971747 -29.124756 80.197904
    Unten rechts KachelX + 1 54933 KachelY + 1 14295 -0.50827495 1.39971747 -29.122009 80.197904
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39972563-1.39971747) × R
    8.16000000014583e-06 × 6371000     		dl = 51.9873600009291m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39972563-1.39971747) × R
    8.16000000014583e-06 × 6371000     		dr = 51.9873600009291m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50832288--0.50827495) × cos(1.39972563) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.170237514341796 × 6371000     		do = 51.9840729615968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50832288--0.50827495) × cos(1.39971747) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.17024555522509 × 6371000     		du = 51.9865283420424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39972563)-sin(1.39971747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170237514341796-0.17024555522509)×R²
    abs(-0.50827495--0.50832288)×8.04088329392494e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.04088329392494e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.04088329392494e-06×40589641000000     		ar = 2702.57853972559m²