Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54931 / 19002
↖ ↑ ↗
← N 77.733784°
W 29.127502°		 ← 64.89 m → N 77.733784°
W 29.124756°		 →
↑
64.86 m
↓
↑
64.86 m
↓
N 77.733201°
W 29.127502°		 ← 64.89 m →
4 209 m²		 N 77.733201°
W 29.124756°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419094085693359 y=0.144977569580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419094085693359 × 217)
    floor (0.419094085693359 × 131072)
    floor (54931.5)     		tx = 54931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144977569580078 × 217)
    floor (0.144977569580078 × 131072)
    floor (19002.5)     		ty = 19002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54931 / 19002 ti = "17/54931/19002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54931/19002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54931 ÷ 217
    54931 ÷ 131072     		x = 0.419090270996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19002 ÷ 217
    19002 ÷ 131072     		y = 0.144973754882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419090270996094 × 2 - 1) × π
    -0.161819458007812 × 3.1415926535     		Λ = -0.50837082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144973754882812 × 2 - 1) × π
    0.710052490234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.23069568691969
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50837082} λ = -0.50837082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23069568691969))-π/2
    2×atan(9.30633812566789)-π/2
    2×1.46375339866899-π/2
    2.92750679733799-1.57079632675     		φ = 1.35671047
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50837082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.127502°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35671047 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.733784°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54931 KachelY 19002 -0.50837082 1.35671047 -29.127502 77.733784
    Oben rechts KachelX + 1 54932 KachelY 19002 -0.50832288 1.35671047 -29.124756 77.733784
    Unten links KachelX 54931 KachelY + 1 19003 -0.50837082 1.35670029 -29.127502 77.733201
    Unten rechts KachelX + 1 54932 KachelY + 1 19003 -0.50832288 1.35670029 -29.124756 77.733201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35671047-1.35670029) × R
    1.01799999998597e-05 × 6371000     		dl = 64.8567799991064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35671047-1.35670029) × R
    1.01799999998597e-05 × 6371000     		dr = 64.8567799991064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50837082--0.50832288) × cos(1.35671047) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.212454242950144 × 6371000     		do = 64.8889943691449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50837082--0.50832288) × cos(1.35670029) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.212464190540079 × 6371000     		du = 64.892032619162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35671047)-sin(1.35670029))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212454242950144-0.212464190540079)×R²
    abs(-0.50832288--0.50837082)×9.94758993472233e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.94758993472233e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.94758993472233e-06×40589641000000     		ar = 4208.58975776319m²