Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54931 / 18743
↖ ↑ ↗
← N 77.884003°
W 29.127502°		 ← 64.11 m → N 77.884003°
W 29.124756°		 →
↑
64.09 m
↓
↑
64.09 m
↓
N 77.883427°
W 29.127502°		 ← 64.11 m →
4 109 m²		 N 77.883427°
W 29.124756°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419094085693359 y=0.143001556396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419094085693359 × 217)
    floor (0.419094085693359 × 131072)
    floor (54931.5)     		tx = 54931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143001556396484 × 217)
    floor (0.143001556396484 × 131072)
    floor (18743.5)     		ty = 18743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54931 / 18743 ti = "17/54931/18743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54931/18743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54931 ÷ 217
    54931 ÷ 131072     		x = 0.419090270996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18743 ÷ 217
    18743 ÷ 131072     		y = 0.142997741699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419090270996094 × 2 - 1) × π
    -0.161819458007812 × 3.1415926535     		Λ = -0.50837082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142997741699219 × 2 - 1) × π
    0.714004516601562 × 3.1415926535     		Φ = 2.24311134392129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50837082} λ = -0.50837082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24311134392129))-π/2
    2×atan(9.42260268472323)-π/2
    2×1.46506430845213-π/2
    2.93012861690425-1.57079632675     		φ = 1.35933229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50837082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.127502°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35933229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.884003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54931 KachelY 18743 -0.50837082 1.35933229 -29.127502 77.884003
    Oben rechts KachelX + 1 54932 KachelY 18743 -0.50832288 1.35933229 -29.124756 77.884003
    Unten links KachelX 54931 KachelY + 1 18744 -0.50837082 1.35932223 -29.127502 77.883427
    Unten rechts KachelX + 1 54932 KachelY + 1 18744 -0.50832288 1.35932223 -29.124756 77.883427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35933229-1.35932223) × R
    1.00599999999229e-05 × 6371000     		dl = 64.0922599995089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35933229-1.35932223) × R
    1.00599999999229e-05 × 6371000     		dr = 64.0922599995089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50837082--0.50832288) × cos(1.35933229) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.209891549173464 × 6371000     		do = 64.1062817260097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50837082--0.50832288) × cos(1.35932223) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.209901385073061 × 6371000     		du = 64.1092858629225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35933229)-sin(1.35932223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209891549173464-0.209901385073061)×R²
    abs(-0.50832288--0.50837082)×9.83589959641096e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.83589959641096e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.83589959641096e-06×40589641000000     		ar = 4108.81274685148m²