Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54930 / 42578
↖ ↑ ↗
← N 53.196161°
W 29.130249°		 ← 182.97 m → N 53.196161°
W 29.127502°		 →
↑
182.98 m
↓
↑
182.98 m
↓
N 53.194516°
W 29.130249°		 ← 182.98 m →
33 480 m²		 N 53.194516°
W 29.127502°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419086456298828 y=0.324848175048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419086456298828 × 217)
    floor (0.419086456298828 × 131072)
    floor (54930.5)     		tx = 54930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324848175048828 × 217)
    floor (0.324848175048828 × 131072)
    floor (42578.5)     		ty = 42578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54930 / 42578 ti = "17/54930/42578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54930/42578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54930 ÷ 217
    54930 ÷ 131072     		x = 0.419082641601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42578 ÷ 217
    42578 ÷ 131072     		y = 0.324844360351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419082641601562 × 2 - 1) × π
    -0.161834716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50841876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324844360351562 × 2 - 1) × π
    0.350311279296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.10053534147725
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50841876} λ = -0.50841876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10053534147725))-π/2
    2×atan(3.00577470918314)-π/2
    2×1.24962224456487-π/2
    2.49924448912973-1.57079632675     		φ = 0.92844816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50841876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.130249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92844816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.196161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54930 KachelY 42578 -0.50841876 0.92844816 -29.130249 53.196161
    Oben rechts KachelX + 1 54931 KachelY 42578 -0.50837082 0.92844816 -29.127502 53.196161
    Unten links KachelX 54930 KachelY + 1 42579 -0.50841876 0.92841944 -29.130249 53.194516
    Unten rechts KachelX + 1 54931 KachelY + 1 42579 -0.50837082 0.92841944 -29.127502 53.194516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92844816-0.92841944) × R
    2.87199999999821e-05 × 6371000     		dl = 182.975119999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92844816-0.92841944) × R
    2.87199999999821e-05 × 6371000     		dr = 182.975119999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50841876--0.50837082) × cos(0.92844816) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.599077247823102 × 6371000     		do = 182.973611733414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50841876--0.50837082) × cos(0.92841944) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.599100243428249 × 6371000     		du = 182.980635183133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92844816)-sin(0.92841944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599077247823102-0.599100243428249)×R²
    abs(-0.50837082--0.50841876)×2.29956051472913e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29956051472913e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29956051472913e-05×40589641000000     		ar = 33480.2611242573m²