Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54930 / 42562
↖ ↑ ↗
← N 53.222480°
W 29.130249°		 ← 182.86 m → N 53.222480°
W 29.127502°		 →
↑
182.85 m
↓
↑
182.85 m
↓
N 53.220835°
W 29.130249°		 ← 182.87 m →
33 436 m²		 N 53.220835°
W 29.127502°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419086456298828 y=0.324726104736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419086456298828 × 217)
    floor (0.419086456298828 × 131072)
    floor (54930.5)     		tx = 54930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324726104736328 × 217)
    floor (0.324726104736328 × 131072)
    floor (42562.5)     		ty = 42562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54930 / 42562 ti = "17/54930/42562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54930/42562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54930 ÷ 217
    54930 ÷ 131072     		x = 0.419082641601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42562 ÷ 217
    42562 ÷ 131072     		y = 0.324722290039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419082641601562 × 2 - 1) × π
    -0.161834716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50841876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324722290039062 × 2 - 1) × π
    0.350555419921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.10130233187117
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50841876} λ = -0.50841876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10130233187117))-π/2
    2×atan(3.00808099384741)-π/2
    2×1.24985191727241-π/2
    2.49970383454482-1.57079632675     		φ = 0.92890751
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50841876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.130249°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92890751 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.222480°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54930 KachelY 42562 -0.50841876 0.92890751 -29.130249 53.222480
    Oben rechts KachelX + 1 54931 KachelY 42562 -0.50837082 0.92890751 -29.127502 53.222480
    Unten links KachelX 54930 KachelY + 1 42563 -0.50841876 0.92887881 -29.130249 53.220835
    Unten rechts KachelX + 1 54931 KachelY + 1 42563 -0.50837082 0.92887881 -29.127502 53.220835
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92890751-0.92887881) × R
    2.86999999999926e-05 × 6371000     		dl = 182.847699999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92890751-0.92887881) × R
    2.86999999999926e-05 × 6371000     		dr = 182.847699999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50841876--0.50837082) × cos(0.92890751) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.59870938711463 × 6371000     		do = 182.861257604312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50841876--0.50837082) × cos(0.92887881) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.598732374601865 × 6371000     		du = 182.868278574612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92890751)-sin(0.92887881))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59870938711463-0.598732374601865)×R²
    abs(-0.50837082--0.50841876)×2.2987487235393e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.2987487235393e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.2987487235393e-05×40589641000000     		ar = 33436.4022584589m²