Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54929 / 42579
↖ ↑ ↗
← N 53.194516°
W 29.132995°		 ← 182.94 m → N 53.194516°
W 29.130249°		 →
↑
182.98 m
↓
↑
182.98 m
↓
N 53.192870°
W 29.132995°		 ← 182.95 m →
33 475 m²		 N 53.192870°
W 29.130249°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419078826904297 y=0.324855804443359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419078826904297 × 217)
    floor (0.419078826904297 × 131072)
    floor (54929.5)     		tx = 54929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324855804443359 × 217)
    floor (0.324855804443359 × 131072)
    floor (42579.5)     		ty = 42579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54929 / 42579 ti = "17/54929/42579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54929/42579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54929 ÷ 217
    54929 ÷ 131072     		x = 0.419075012207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42579 ÷ 217
    42579 ÷ 131072     		y = 0.324851989746094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419075012207031 × 2 - 1) × π
    -0.161849975585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.50846669
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324851989746094 × 2 - 1) × π
    0.350296020507812 × 3.1415926535     		Φ = 1.10048740457763
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50846669} λ = -0.50846669}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10048740457763))-π/2
    2×atan(3.00563062511613)-π/2
    2×1.24960788533639-π/2
    2.49921577067279-1.57079632675     		φ = 0.92841944
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50846669} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.132995°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92841944 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.194516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54929 KachelY 42579 -0.50846669 0.92841944 -29.132995 53.194516
    Oben rechts KachelX + 1 54930 KachelY 42579 -0.50841876 0.92841944 -29.130249 53.194516
    Unten links KachelX 54929 KachelY + 1 42580 -0.50846669 0.92839072 -29.132995 53.192870
    Unten rechts KachelX + 1 54930 KachelY + 1 42580 -0.50841876 0.92839072 -29.130249 53.192870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92841944-0.92839072) × R
    2.87199999999821e-05 × 6371000     		dl = 182.975119999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92841944-0.92839072) × R
    2.87199999999821e-05 × 6371000     		dr = 182.975119999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50846669--0.50841876) × cos(0.92841944) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.599100243428249 × 6371000     		do = 182.942466506856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50846669--0.50841876) × cos(0.92839072) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.599123238539236 × 6371000     		du = 182.949488340627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92841944)-sin(0.92839072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599100243428249-0.599123238539236)×R²
    abs(-0.50841876--0.50846669)×2.29951109863569e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.29951109863569e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.29951109863569e-05×40589641000000     		ar = 33474.5621749085m²