Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54929 / 16761
↖ ↑ ↗
← N 78.975063°
W 29.132995°		 ← 58.40 m → N 78.975063°
W 29.130249°		 →
↑
58.42 m
↓
↑
58.42 m
↓
N 78.974538°
W 29.132995°		 ← 58.40 m →
3 412 m²		 N 78.974538°
W 29.130249°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16761 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419078826904297 y=0.127880096435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419078826904297 × 217)
    floor (0.419078826904297 × 131072)
    floor (54929.5)     		tx = 54929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127880096435547 × 217)
    floor (0.127880096435547 × 131072)
    floor (16761.5)     		ty = 16761
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54929 / 16761 ti = "17/54929/16761"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54929/16761.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54929 ÷ 217
    54929 ÷ 131072     		x = 0.419075012207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16761 ÷ 217
    16761 ÷ 131072     		y = 0.127876281738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419075012207031 × 2 - 1) × π
    -0.161849975585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.50846669
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127876281738281 × 2 - 1) × π
    0.744247436523438 × 3.1415926535     		Φ = 2.33812227896824
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50846669} λ = -0.50846669}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33812227896824))-π/2
    2×atan(10.361761786323)-π/2
    2×1.47458560377886-π/2
    2.94917120755772-1.57079632675     		φ = 1.37837488
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50846669} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.132995°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37837488 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.975063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54929 KachelY 16761 -0.50846669 1.37837488 -29.132995 78.975063
    Oben rechts KachelX + 1 54930 KachelY 16761 -0.50841876 1.37837488 -29.130249 78.975063
    Unten links KachelX 54929 KachelY + 1 16762 -0.50846669 1.37836571 -29.132995 78.974538
    Unten rechts KachelX + 1 54930 KachelY + 1 16762 -0.50841876 1.37836571 -29.130249 78.974538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37837488-1.37836571) × R
    9.17000000000279e-06 × 6371000     		dl = 58.4220700000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37837488-1.37836571) × R
    9.17000000000279e-06 × 6371000     		dr = 58.4220700000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50846669--0.50841876) × cos(1.37837488) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.19123620998268 × 6371000     		do = 58.3962772898531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50846669--0.50841876) × cos(1.37836571) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.191245210733531 × 6371000     		du = 58.3990257774045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37837488)-sin(1.37836571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19123620998268-0.191245210733531)×R²
    abs(-0.50841876--0.50846669)×9.00075085077945e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.00075085077945e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.00075085077945e-06×40589641000000     		ar = 3411.71168582586m²