Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54928 / 14480
↖ ↑ ↗
← N 80.111020°
W 29.135742°		 ← 52.45 m → N 80.111020°
W 29.132995°		 →
↑
52.43 m
↓
↑
52.43 m
↓
N 80.110548°
W 29.135742°		 ← 52.46 m →
2 750 m²		 N 80.110548°
W 29.132995°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419071197509766 y=0.110477447509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419071197509766 × 217)
    floor (0.419071197509766 × 131072)
    floor (54928.5)     		tx = 54928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110477447509766 × 217)
    floor (0.110477447509766 × 131072)
    floor (14480.5)     		ty = 14480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54928 / 14480 ti = "17/54928/14480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54928/14480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54928 ÷ 217
    54928 ÷ 131072     		x = 0.4190673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14480 ÷ 217
    14480 ÷ 131072     		y = 0.1104736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4190673828125 × 2 - 1) × π
    -0.161865234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50851463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1104736328125 × 2 - 1) × π
    0.779052734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.44746634700159
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50851463} λ = -0.50851463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44746634700159))-π/2
    2×atan(11.5590230335204)-π/2
    2×1.48449869277074-π/2
    2.96899738554149-1.57079632675     		φ = 1.39820106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50851463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.135742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39820106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.111020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54928 KachelY 14480 -0.50851463 1.39820106 -29.135742 80.111020
    Oben rechts KachelX + 1 54929 KachelY 14480 -0.50846669 1.39820106 -29.132995 80.111020
    Unten links KachelX 54928 KachelY + 1 14481 -0.50851463 1.39819283 -29.135742 80.110548
    Unten rechts KachelX + 1 54929 KachelY + 1 14481 -0.50846669 1.39819283 -29.132995 80.110548
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39820106-1.39819283) × R
    8.23000000016449e-06 × 6371000     		dl = 52.433330001048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39820106-1.39819283) × R
    8.23000000016449e-06 × 6371000     		dr = 52.433330001048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50851463--0.50846669) × cos(1.39820106) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.171739631858845 × 6371000     		do = 52.4537041477809m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50851463--0.50846669) × cos(1.39819283) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.171747739574774 × 6371000     		du = 52.4561804529184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39820106)-sin(1.39819283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171739631858845-0.171747739574774)×R²
    abs(-0.50846669--0.50851463)×8.10771592940629e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.10771592940629e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.10771592940629e-06×40589641000000     		ar = 2750.3872998736m²