Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54927 / 42972
↖ ↑ ↗
← N 52.542955°
W 29.138489°		 ← 185.75 m → N 52.542955°
W 29.135742°		 →
↑
185.71 m
↓
↑
185.71 m
↓
N 52.541285°
W 29.138489°		 ← 185.76 m →
34 497 m²		 N 52.541285°
W 29.135742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419063568115234 y=0.327854156494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419063568115234 × 217)
    floor (0.419063568115234 × 131072)
    floor (54927.5)     		tx = 54927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327854156494141 × 217)
    floor (0.327854156494141 × 131072)
    floor (42972.5)     		ty = 42972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54927 / 42972 ti = "17/54927/42972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54927/42972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54927 ÷ 217
    54927 ÷ 131072     		x = 0.419059753417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42972 ÷ 217
    42972 ÷ 131072     		y = 0.327850341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419059753417969 × 2 - 1) × π
    -0.161880493164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.50856257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327850341796875 × 2 - 1) × π
    0.34429931640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.08164820302695
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50856257} λ = -0.50856257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08164820302695))-π/2
    2×atan(2.94953698273214)-π/2
    2×1.24392194570629-π/2
    2.48784389141258-1.57079632675     		φ = 0.91704756
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50856257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.138489°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91704756 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.542955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54927 KachelY 42972 -0.50856257 0.91704756 -29.138489 52.542955
    Oben rechts KachelX + 1 54928 KachelY 42972 -0.50851463 0.91704756 -29.135742 52.542955
    Unten links KachelX 54927 KachelY + 1 42973 -0.50856257 0.91701841 -29.138489 52.541285
    Unten rechts KachelX + 1 54928 KachelY + 1 42973 -0.50851463 0.91701841 -29.135742 52.541285
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91704756-0.91701841) × R
    2.91500000000333e-05 × 6371000     		dl = 185.714650000212m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91704756-0.91701841) × R
    2.91500000000333e-05 × 6371000     		dr = 185.714650000212m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50856257--0.50851463) × cos(0.91704756) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.608166478842371 × 6371000     		do = 185.749696843934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50856257--0.50851463) × cos(0.91701841) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.608189618131122 × 6371000     		du = 185.756764178324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91704756)-sin(0.91701841))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608166478842371-0.608189618131122)×R²
    abs(-0.50851463--0.50856257)×2.31392887506399e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.31392887506399e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.31392887506399e-05×40589641000000     		ar = 34497.0961933205m²