Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54927 / 42577
↖ ↑ ↗
← N 53.197807°
W 29.138489°		 ← 182.97 m → N 53.197807°
W 29.135742°		 →
↑
182.98 m
↓
↑
182.98 m
↓
N 53.196161°
W 29.138489°		 ← 182.97 m →
33 479 m²		 N 53.196161°
W 29.135742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419063568115234 y=0.324840545654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419063568115234 × 217)
    floor (0.419063568115234 × 131072)
    floor (54927.5)     		tx = 54927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324840545654297 × 217)
    floor (0.324840545654297 × 131072)
    floor (42577.5)     		ty = 42577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54927 / 42577 ti = "17/54927/42577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54927/42577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54927 ÷ 217
    54927 ÷ 131072     		x = 0.419059753417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42577 ÷ 217
    42577 ÷ 131072     		y = 0.324836730957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419059753417969 × 2 - 1) × π
    -0.161880493164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.50856257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324836730957031 × 2 - 1) × π
    0.350326538085938 × 3.1415926535     		Φ = 1.10058327837687
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50856257} λ = -0.50856257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10058327837687))-π/2
    2×atan(3.00591880015726)-π/2
    2×1.2496366032422-π/2
    2.4992732064844-1.57079632675     		φ = 0.92847688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50856257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.138489°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92847688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.197807°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54927 KachelY 42577 -0.50856257 0.92847688 -29.138489 53.197807
    Oben rechts KachelX + 1 54928 KachelY 42577 -0.50851463 0.92847688 -29.135742 53.197807
    Unten links KachelX 54927 KachelY + 1 42578 -0.50856257 0.92844816 -29.138489 53.196161
    Unten rechts KachelX + 1 54928 KachelY + 1 42578 -0.50851463 0.92844816 -29.135742 53.196161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92847688-0.92844816) × R
    2.87199999999821e-05 × 6371000     		dl = 182.975119999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92847688-0.92844816) × R
    2.87199999999821e-05 × 6371000     		dr = 182.975119999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50856257--0.50851463) × cos(0.92847688) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.599054251723813 × 6371000     		do = 182.966588133196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50856257--0.50851463) × cos(0.92844816) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.599077247823102 × 6371000     		du = 182.973611733838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92847688)-sin(0.92844816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.599054251723813-0.599077247823102)×R²
    abs(-0.50851463--0.50856257)×2.29960992892408e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.29960992892408e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.29960992892408e-05×40589641000000     		ar = 33478.9759940939m²