Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54927 / 18753
↖ ↑ ↗
← N 77.878237°
W 29.138489°		 ← 64.14 m → N 77.878237°
W 29.135742°		 →
↑
64.16 m
↓
↑
64.16 m
↓
N 77.877660°
W 29.138489°		 ← 64.14 m →
4 115 m²		 N 77.877660°
W 29.135742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419063568115234 y=0.143077850341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419063568115234 × 217)
    floor (0.419063568115234 × 131072)
    floor (54927.5)     		tx = 54927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143077850341797 × 217)
    floor (0.143077850341797 × 131072)
    floor (18753.5)     		ty = 18753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54927 / 18753 ti = "17/54927/18753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54927/18753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54927 ÷ 217
    54927 ÷ 131072     		x = 0.419059753417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18753 ÷ 217
    18753 ÷ 131072     		y = 0.143074035644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419059753417969 × 2 - 1) × π
    -0.161880493164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.50856257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143074035644531 × 2 - 1) × π
    0.713851928710938 × 3.1415926535     		Φ = 2.24263197492509
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50856257} λ = -0.50856257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24263197492509))-π/2
    2×atan(9.41808686359145)-π/2
    2×1.46501398891038-π/2
    2.93002797782077-1.57079632675     		φ = 1.35923165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50856257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.138489°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35923165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.878237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54927 KachelY 18753 -0.50856257 1.35923165 -29.138489 77.878237
    Oben rechts KachelX + 1 54928 KachelY 18753 -0.50851463 1.35923165 -29.135742 77.878237
    Unten links KachelX 54927 KachelY + 1 18754 -0.50856257 1.35922158 -29.138489 77.877660
    Unten rechts KachelX + 1 54928 KachelY + 1 18754 -0.50851463 1.35922158 -29.135742 77.877660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35923165-1.35922158) × R
    1.00699999998621e-05 × 6371000     		dl = 64.1559699991217m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35923165-1.35922158) × R
    1.00699999998621e-05 × 6371000     		dr = 64.1559699991217m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50856257--0.50851463) × cos(1.35923165) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.209989946321527 × 6371000     		do = 64.1363347479191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50856257--0.50851463) × cos(1.35922158) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.20999979178558 × 6371000     		du = 64.1393418060633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35923165)-sin(1.35922158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209989946321527-0.20999979178558)×R²
    abs(-0.50851463--0.50856257)×9.84546405360942e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.84546405360942e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.84546405360942e-06×40589641000000     		ar = 4114.8252285042m²