Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54927 / 16762
↖ ↑ ↗
← N 78.974538°
W 29.138489°		 ← 58.41 m → N 78.974538°
W 29.135742°		 →
↑
58.36 m
↓
↑
58.36 m
↓
N 78.974013°
W 29.138489°		 ← 58.41 m →
3 409 m²		 N 78.974013°
W 29.135742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419063568115234 y=0.127887725830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419063568115234 × 217)
    floor (0.419063568115234 × 131072)
    floor (54927.5)     		tx = 54927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127887725830078 × 217)
    floor (0.127887725830078 × 131072)
    floor (16762.5)     		ty = 16762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54927 / 16762 ti = "17/54927/16762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54927/16762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54927 ÷ 217
    54927 ÷ 131072     		x = 0.419059753417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16762 ÷ 217
    16762 ÷ 131072     		y = 0.127883911132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419059753417969 × 2 - 1) × π
    -0.161880493164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.50856257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127883911132812 × 2 - 1) × π
    0.744232177734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.33807434206862
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50856257} λ = -0.50856257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33807434206862))-π/2
    2×atan(10.3612650874936)-π/2
    2×1.47458102003554-π/2
    2.94916204007108-1.57079632675     		φ = 1.37836571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50856257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.138489°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37836571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.974538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54927 KachelY 16762 -0.50856257 1.37836571 -29.138489 78.974538
    Oben rechts KachelX + 1 54928 KachelY 16762 -0.50851463 1.37836571 -29.135742 78.974538
    Unten links KachelX 54927 KachelY + 1 16763 -0.50856257 1.37835655 -29.138489 78.974013
    Unten rechts KachelX + 1 54928 KachelY + 1 16763 -0.50851463 1.37835655 -29.135742 78.974013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37836571-1.37835655) × R
    9.16000000006356e-06 × 6371000     		dl = 58.358360000405m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37836571-1.37835655) × R
    9.16000000006356e-06 × 6371000     		dr = 58.358360000405m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50856257--0.50851463) × cos(1.37836571) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.191245210733531 × 6371000     		do = 58.4112100098415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50856257--0.50851463) × cos(1.37835655) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.191254201652895 × 6371000     		du = 58.4139560680415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37836571)-sin(1.37835655))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191245210733531-0.191254201652895)×R²
    abs(-0.50851463--0.50856257)×8.99091936387708e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.99091936387708e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.99091936387708e-06×40589641000000     		ar = 3408.86254960041m²