Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54926 / 18730
↖ ↑ ↗
← N 77.891495°
W 29.141235°		 ← 64.05 m → N 77.891495°
W 29.138489°		 →
↑
64.09 m
↓
↑
64.09 m
↓
N 77.890919°
W 29.141235°		 ← 64.06 m →
4 105 m²		 N 77.890919°
W 29.138489°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54926 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419055938720703 y=0.142902374267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419055938720703 × 217)
    floor (0.419055938720703 × 131072)
    floor (54926.5)     		tx = 54926
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142902374267578 × 217)
    floor (0.142902374267578 × 131072)
    floor (18730.5)     		ty = 18730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54926 / 18730 ti = "17/54926/18730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54926/18730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54926 ÷ 217
    54926 ÷ 131072     		x = 0.419052124023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18730 ÷ 217
    18730 ÷ 131072     		y = 0.142898559570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419052124023438 × 2 - 1) × π
    -0.161895751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50861050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142898559570312 × 2 - 1) × π
    0.714202880859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.24373452361635
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50861050} λ = -0.50861050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24373452361635))-π/2
    2×atan(9.42847648941879)-π/2
    2×1.46512968860769-π/2
    2.93025937721537-1.57079632675     		φ = 1.35946305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50861050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.141235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35946305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.891495°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54926 KachelY 18730 -0.50861050 1.35946305 -29.141235 77.891495
    Oben rechts KachelX + 1 54927 KachelY 18730 -0.50856257 1.35946305 -29.138489 77.891495
    Unten links KachelX 54926 KachelY + 1 18731 -0.50861050 1.35945299 -29.141235 77.890919
    Unten rechts KachelX + 1 54927 KachelY + 1 18731 -0.50856257 1.35945299 -29.138489 77.890919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35946305-1.35945299) × R
    1.00599999999229e-05 × 6371000     		dl = 64.0922599995089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35946305-1.35945299) × R
    1.00599999999229e-05 × 6371000     		dr = 64.0922599995089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50861050--0.50856257) × cos(1.35946305) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.209763700101112 × 6371000     		do = 64.0538692830777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50861050--0.50856257) × cos(1.35945299) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.209773536276732 × 6371000     		du = 64.0568728776324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35946305)-sin(1.35945299))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209763700101112-0.209773536276732)×R²
    abs(-0.50856257--0.50861050)×9.83617561969852e-06×R²
    4.79299999999183e-05×9.83617561969852e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×9.83617561969852e-06×40589641000000     		ar = 4105.4534975321m²