Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54925 / 42925
↖ ↑ ↗
← N 52.621393°
W 29.143982°		 ← 185.42 m → N 52.621393°
W 29.141235°		 →
↑
185.40 m
↓
↑
185.40 m
↓
N 52.619725°
W 29.143982°		 ← 185.42 m →
34 376 m²		 N 52.619725°
W 29.141235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54925 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42925 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419048309326172 y=0.327495574951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419048309326172 × 217)
    floor (0.419048309326172 × 131072)
    floor (54925.5)     		tx = 54925
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327495574951172 × 217)
    floor (0.327495574951172 × 131072)
    floor (42925.5)     		ty = 42925
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54925 / 42925 ti = "17/54925/42925"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54925/42925.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54925 ÷ 217
    54925 ÷ 131072     		x = 0.419044494628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42925 ÷ 217
    42925 ÷ 131072     		y = 0.327491760253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419044494628906 × 2 - 1) × π
    -0.161911010742188 × 3.1415926535     		Λ = -0.50865844
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327491760253906 × 2 - 1) × π
    0.345016479492188 × 3.1415926535     		Φ = 1.08390123730909
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50865844} λ = -0.50865844}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08390123730909))-π/2
    2×atan(2.956189882462)-π/2
    2×1.24460644316363-π/2
    2.48921288632726-1.57079632675     		φ = 0.91841656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50865844} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.143982°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91841656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.621393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54925 KachelY 42925 -0.50865844 0.91841656 -29.143982 52.621393
    Oben rechts KachelX + 1 54926 KachelY 42925 -0.50861050 0.91841656 -29.141235 52.621393
    Unten links KachelX 54925 KachelY + 1 42926 -0.50865844 0.91838746 -29.143982 52.619725
    Unten rechts KachelX + 1 54926 KachelY + 1 42926 -0.50861050 0.91838746 -29.141235 52.619725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91841656-0.91838746) × R
    2.91000000000041e-05 × 6371000     		dl = 185.396100000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91841656-0.91838746) × R
    2.91000000000041e-05 × 6371000     		dr = 185.396100000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50865844--0.50861050) × cos(0.91841656) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.607079184065354 × 6371000     		do = 185.417609032065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50865844--0.50861050) × cos(0.91838746) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.607102307871396 × 6371000     		du = 185.424671637637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91841656)-sin(0.91838746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607079184065354-0.607102307871396)×R²
    abs(-0.50861050--0.50865844)×2.31238060426353e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.31238060426353e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.31238060426353e-05×40589641000000     		ar = 34376.3562779644m²