Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54925 / 16764
↖ ↑ ↗
← N 78.973488°
W 29.143982°		 ← 58.42 m → N 78.973488°
W 29.141235°		 →
↑
58.42 m
↓
↑
58.42 m
↓
N 78.972962°
W 29.143982°		 ← 58.42 m →
3 413 m²		 N 78.972962°
W 29.141235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54925 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419048309326172 y=0.127902984619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419048309326172 × 217)
    floor (0.419048309326172 × 131072)
    floor (54925.5)     		tx = 54925
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127902984619141 × 217)
    floor (0.127902984619141 × 131072)
    floor (16764.5)     		ty = 16764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54925 / 16764 ti = "17/54925/16764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54925/16764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54925 ÷ 217
    54925 ÷ 131072     		x = 0.419044494628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16764 ÷ 217
    16764 ÷ 131072     		y = 0.127899169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419044494628906 × 2 - 1) × π
    -0.161911010742188 × 3.1415926535     		Λ = -0.50865844
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127899169921875 × 2 - 1) × π
    0.74420166015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.33797846826938
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50865844} λ = -0.50865844}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33797846826938))-π/2
    2×atan(10.3602717612624)-π/2
    2×1.47457185190185-π/2
    2.9491437038037-1.57079632675     		φ = 1.37834738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50865844} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.143982°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37834738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.973488°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54925 KachelY 16764 -0.50865844 1.37834738 -29.143982 78.973488
    Oben rechts KachelX + 1 54926 KachelY 16764 -0.50861050 1.37834738 -29.141235 78.973488
    Unten links KachelX 54925 KachelY + 1 16765 -0.50865844 1.37833821 -29.143982 78.972962
    Unten rechts KachelX + 1 54926 KachelY + 1 16765 -0.50861050 1.37833821 -29.141235 78.972962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37834738-1.37833821) × R
    9.17000000000279e-06 × 6371000     		dl = 58.4220700000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37834738-1.37833821) × R
    9.17000000000279e-06 × 6371000     		dr = 58.4220700000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50865844--0.50861050) × cos(1.37834738) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.191263202371599 × 6371000     		do = 58.4167051192123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50865844--0.50861050) × cos(1.37833821) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.19127220307422 × 6371000     		du = 58.4194541654709m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37834738)-sin(1.37833821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191263202371599-0.19127220307422)×R²
    abs(-0.50861050--0.50865844)×9.00070262124797e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.00070262124797e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.00070262124797e-06×40589641000000     		ar = 3412.90513804447m²