Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54924 / 14292
↖ ↑ ↗
← N 80.199306°
W 29.146729°		 ← 51.99 m → N 80.199306°
W 29.143982°		 →
↑
51.99 m
↓
↑
51.99 m
↓
N 80.198839°
W 29.146729°		 ← 51.99 m →
2 703 m²		 N 80.198839°
W 29.143982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54924 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419040679931641 y=0.109043121337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419040679931641 × 217)
    floor (0.419040679931641 × 131072)
    floor (54924.5)     		tx = 54924
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.109043121337891 × 217)
    floor (0.109043121337891 × 131072)
    floor (14292.5)     		ty = 14292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54924 / 14292 ti = "17/54924/14292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54924/14292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54924 ÷ 217
    54924 ÷ 131072     		x = 0.419036865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14292 ÷ 217
    14292 ÷ 131072     		y = 0.109039306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419036865234375 × 2 - 1) × π
    -0.16192626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50870638
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.109039306640625 × 2 - 1) × π
    0.78192138671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.45647848413016
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50870638} λ = -0.50870638}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45647848413016))-π/2
    2×atan(11.6636653513888)-π/2
    2×1.48526913786748-π/2
    2.97053827573497-1.57079632675     		φ = 1.39974195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50870638} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.146729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39974195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.199306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54924 KachelY 14292 -0.50870638 1.39974195 -29.146729 80.199306
    Oben rechts KachelX + 1 54925 KachelY 14292 -0.50865844 1.39974195 -29.143982 80.199306
    Unten links KachelX 54924 KachelY + 1 14293 -0.50870638 1.39973379 -29.146729 80.198839
    Unten rechts KachelX + 1 54925 KachelY + 1 14293 -0.50865844 1.39973379 -29.143982 80.198839
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39974195-1.39973379) × R
    8.15999999992378e-06 × 6371000     		dl = 51.9873599995144m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39974195-1.39973379) × R
    8.15999999992378e-06 × 6371000     		dr = 51.9873599995144m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50870638--0.50865844) × cos(1.39974195) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.170221432541203 × 6371000     		do = 51.990006997723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50870638--0.50865844) × cos(1.39973379) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.170229473447167 × 6371000     		du = 51.9924628973772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39974195)-sin(1.39973379))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170221432541203-0.170229473447167)×R²
    abs(-0.50865844--0.50870638)×8.04090596387419e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.04090596387419e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.04090596387419e-06×40589641000000     		ar = 2702.88704795206m²