Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54923 / 17613
↖ ↑ ↗
← N 78.518467°
W 29.149475°		 ← 60.80 m → N 78.518467°
W 29.146729°		 →
↑
60.78 m
↓
↑
60.78 m
↓
N 78.517921°
W 29.149475°		 ← 60.80 m →
3 695 m²		 N 78.517921°
W 29.146729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419033050537109 y=0.134380340576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419033050537109 × 217)
    floor (0.419033050537109 × 131072)
    floor (54923.5)     		tx = 54923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134380340576172 × 217)
    floor (0.134380340576172 × 131072)
    floor (17613.5)     		ty = 17613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54923 / 17613 ti = "17/54923/17613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54923/17613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54923 ÷ 217
    54923 ÷ 131072     		x = 0.419029235839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17613 ÷ 217
    17613 ÷ 131072     		y = 0.134376525878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419029235839844 × 2 - 1) × π
    -0.161941528320312 × 3.1415926535     		Λ = -0.50875432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134376525878906 × 2 - 1) × π
    0.731246948242188 × 3.1415926535     		Φ = 2.29728004049195
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50875432} λ = -0.50875432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29728004049195))-π/2
    2×atan(9.94708994438034)-π/2
    2×1.47060105365018-π/2
    2.94120210730036-1.57079632675     		φ = 1.37040578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50875432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.149475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37040578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.518467°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54923 KachelY 17613 -0.50875432 1.37040578 -29.149475 78.518467
    Oben rechts KachelX + 1 54924 KachelY 17613 -0.50870638 1.37040578 -29.146729 78.518467
    Unten links KachelX 54923 KachelY + 1 17614 -0.50875432 1.37039624 -29.149475 78.517921
    Unten rechts KachelX + 1 54924 KachelY + 1 17614 -0.50870638 1.37039624 -29.146729 78.517921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37040578-1.37039624) × R
    9.53999999997457e-06 × 6371000     		dl = 60.779339999838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37040578-1.37039624) × R
    9.53999999997457e-06 × 6371000     		dr = 60.779339999838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50875432--0.50870638) × cos(1.37040578) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.199052077494894 × 6371000     		do = 60.7956280673754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50875432--0.50870638) × cos(1.37039624) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.19906142658007 × 6371000     		du = 60.7984835186336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37040578)-sin(1.37039624))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199052077494894-0.19906142658007)×R²
    abs(-0.50870638--0.50875432)×9.34908517591371e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.34908517591371e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.34908517591371e-06×40589641000000     		ar = 3695.20492506916m²