Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54923 / 17426
↖ ↑ ↗
← N 78.620255°
W 29.149475°		 ← 60.26 m → N 78.620255°
W 29.146729°		 →
↑
60.27 m
↓
↑
60.27 m
↓
N 78.619713°
W 29.149475°		 ← 60.27 m →
3 632 m²		 N 78.619713°
W 29.146729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17426 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419033050537109 y=0.132953643798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419033050537109 × 217)
    floor (0.419033050537109 × 131072)
    floor (54923.5)     		tx = 54923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132953643798828 × 217)
    floor (0.132953643798828 × 131072)
    floor (17426.5)     		ty = 17426
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54923 / 17426 ti = "17/54923/17426"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54923/17426.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54923 ÷ 217
    54923 ÷ 131072     		x = 0.419029235839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17426 ÷ 217
    17426 ÷ 131072     		y = 0.132949829101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419029235839844 × 2 - 1) × π
    -0.161941528320312 × 3.1415926535     		Λ = -0.50875432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132949829101562 × 2 - 1) × π
    0.734100341796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.3062442407209
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50875432} λ = -0.50875432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3062442407209))-π/2
    2×atan(10.0366585058098)-π/2
    2×1.47148931718823-π/2
    2.94297863437646-1.57079632675     		φ = 1.37218231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50875432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.149475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37218231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.620255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54923 KachelY 17426 -0.50875432 1.37218231 -29.149475 78.620255
    Oben rechts KachelX + 1 54924 KachelY 17426 -0.50870638 1.37218231 -29.146729 78.620255
    Unten links KachelX 54923 KachelY + 1 17427 -0.50875432 1.37217285 -29.149475 78.619713
    Unten rechts KachelX + 1 54924 KachelY + 1 17427 -0.50870638 1.37217285 -29.146729 78.619713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37218231-1.37217285) × R
    9.45999999979463e-06 × 6371000     		dl = 60.2696599986916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37218231-1.37217285) × R
    9.45999999979463e-06 × 6371000     		dr = 60.2696599986916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50875432--0.50870638) × cos(1.37218231) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.197310784596339 × 6371000     		do = 60.263792395278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50875432--0.50870638) × cos(1.37217285) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.197320058613264 × 6371000     		du = 60.26662491876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37218231)-sin(1.37217285))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.197310784596339-0.197320058613264)×R²
    abs(-0.50870638--0.50875432)×9.27401692468743e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.27401692468743e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.27401692468743e-06×40589641000000     		ar = 3632.16363551721m²