Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54923 / 16763
↖ ↑ ↗
← N 78.974013°
W 29.149475°		 ← 58.41 m → N 78.974013°
W 29.146729°		 →
↑
58.42 m
↓
↑
58.42 m
↓
N 78.973488°
W 29.149475°		 ← 58.42 m →
3 413 m²		 N 78.973488°
W 29.146729°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54923 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419033050537109 y=0.127895355224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419033050537109 × 217)
    floor (0.419033050537109 × 131072)
    floor (54923.5)     		tx = 54923
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127895355224609 × 217)
    floor (0.127895355224609 × 131072)
    floor (16763.5)     		ty = 16763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54923 / 16763 ti = "17/54923/16763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54923/16763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54923 ÷ 217
    54923 ÷ 131072     		x = 0.419029235839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16763 ÷ 217
    16763 ÷ 131072     		y = 0.127891540527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419029235839844 × 2 - 1) × π
    -0.161941528320312 × 3.1415926535     		Λ = -0.50875432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127891540527344 × 2 - 1) × π
    0.744216918945312 × 3.1415926535     		Φ = 2.338026405169
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50875432} λ = -0.50875432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.338026405169))-π/2
    2×atan(10.3607684124738)-π/2
    2×1.47457643607654-π/2
    2.94915287215308-1.57079632675     		φ = 1.37835655
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50875432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.149475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37835655 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.974013°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54923 KachelY 16763 -0.50875432 1.37835655 -29.149475 78.974013
    Oben rechts KachelX + 1 54924 KachelY 16763 -0.50870638 1.37835655 -29.146729 78.974013
    Unten links KachelX 54923 KachelY + 1 16764 -0.50875432 1.37834738 -29.149475 78.973488
    Unten rechts KachelX + 1 54924 KachelY + 1 16764 -0.50870638 1.37834738 -29.146729 78.973488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37835655-1.37834738) × R
    9.17000000000279e-06 × 6371000     		dl = 58.4220700000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37835655-1.37834738) × R
    9.17000000000279e-06 × 6371000     		dr = 58.4220700000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50875432--0.50870638) × cos(1.37835655) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.191254201652895 × 6371000     		do = 58.4139560679062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50875432--0.50870638) × cos(1.37834738) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.191263202371599 × 6371000     		du = 58.416705119077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37835655)-sin(1.37834738))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191254201652895-0.191263202371599)×R²
    abs(-0.50870638--0.50875432)×9.00071870435504e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.00071870435504e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.00071870435504e-06×40589641000000     		ar = 3412.74453310427m²