Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 54921 / 23181
↖ ↑ ↗
← N 46.509735°
E121.690063°		 ← 420.41 m → N 46.509735°
E121.695557°		 →
↑
420.36 m
↓
↑
420.36 m
↓
N 46.505955°
E121.690063°		 ← 420.44 m →
176 728 m²		 N 46.505955°
E121.695557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.838035583496094 y=0.353721618652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.838035583496094 × 216)
    floor (0.838035583496094 × 65536)
    floor (54921.5)     		tx = 54921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.353721618652344 × 216)
    floor (0.353721618652344 × 65536)
    floor (23181.5)     		ty = 23181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 54921 / 23181 ti = "16/54921/23181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/54921/23181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54921 ÷ 216
    54921 ÷ 65536     		x = 0.838027954101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23181 ÷ 216
    23181 ÷ 65536     		y = 0.353713989257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.838027954101562 × 2 - 1) × π
    0.676055908203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.12389227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.353713989257812 × 2 - 1) × π
    0.292572021484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.919142113314957
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.12389227} λ = 2.12389227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.919142113314957))-π/2
    2×atan(2.50713862623855)-π/2
    2×1.19127216963977-π/2
    2.38254433927954-1.57079632675     		φ = 0.81174801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.12389227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 121.690063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81174801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.509735°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54921 KachelY 23181 2.12389227 0.81174801 121.690063 46.509735
    Oben rechts KachelX + 1 54922 KachelY 23181 2.12398815 0.81174801 121.695557 46.509735
    Unten links KachelX 54921 KachelY + 1 23182 2.12389227 0.81168203 121.690063 46.505955
    Unten rechts KachelX + 1 54922 KachelY + 1 23182 2.12398815 0.81168203 121.695557 46.505955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81174801-0.81168203) × R
    6.597999999991e-05 × 6371000     		dl = 420.358579999427m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81174801-0.81168203) × R
    6.597999999991e-05 × 6371000     		dr = 420.358579999427m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.12389227-2.12398815) × cos(0.81174801) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.688231318978432 × 6371000     		do = 420.407119781999m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.12389227-2.12398815) × cos(0.81168203) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.688279185397458 × 6371000     		du = 420.436359054903m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81174801)-sin(0.81168203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.688231318978432-0.688279185397458)×R²
    abs(2.12398815-2.12389227)×4.7866419025655e-05×R²
    9.58800000003812e-05×4.7866419025655e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×4.7866419025655e-05×40589641000000     		ar = 176727.885446882m²