Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54921 / 18744
↖ ↑ ↗
← N 77.883427°
W 29.154968°		 ← 64.11 m → N 77.883427°
W 29.152222°		 →
↑
64.09 m
↓
↑
64.09 m
↓
N 77.882850°
W 29.154968°		 ← 64.11 m →
4 109 m²		 N 77.882850°
W 29.152222°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54921 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419017791748047 y=0.143009185791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419017791748047 × 217)
    floor (0.419017791748047 × 131072)
    floor (54921.5)     		tx = 54921
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143009185791016 × 217)
    floor (0.143009185791016 × 131072)
    floor (18744.5)     		ty = 18744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54921 / 18744 ti = "17/54921/18744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54921/18744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54921 ÷ 217
    54921 ÷ 131072     		x = 0.419013977050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18744 ÷ 217
    18744 ÷ 131072     		y = 0.14300537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.419013977050781 × 2 - 1) × π
    -0.161972045898438 × 3.1415926535     		Λ = -0.50885019
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14300537109375 × 2 - 1) × π
    0.7139892578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.24306340702167
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50885019} λ = -0.50885019}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24306340702167))-π/2
    2×atan(9.42215100519031)-π/2
    2×1.46505927755917-π/2
    2.93011855511834-1.57079632675     		φ = 1.35932223
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50885019} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.154968°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35932223 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.883427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54921 KachelY 18744 -0.50885019 1.35932223 -29.154968 77.883427
    Oben rechts KachelX + 1 54922 KachelY 18744 -0.50880225 1.35932223 -29.152222 77.883427
    Unten links KachelX 54921 KachelY + 1 18745 -0.50885019 1.35931217 -29.154968 77.882850
    Unten rechts KachelX + 1 54922 KachelY + 1 18745 -0.50880225 1.35931217 -29.152222 77.882850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35932223-1.35931217) × R
    1.0060000000145e-05 × 6371000     		dl = 64.0922600009235m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35932223-1.35931217) × R
    1.0060000000145e-05 × 6371000     		dr = 64.0922600009235m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50885019--0.50880225) × cos(1.35932223) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.209901385073061 × 6371000     		do = 64.1092858629225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50885019--0.50880225) × cos(1.35931217) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.209911220951414 × 6371000     		du = 64.1122899933472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35932223)-sin(1.35931217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209901385073061-0.209911220951414)×R²
    abs(-0.50880225--0.50885019)×9.83587835384769e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.83587835384769e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.83587835384769e-06×40589641000000     		ar = 4109.00528883831m²