Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54920 / 18760
↖ ↑ ↗
← N 77.874199°
W 29.157715°		 ← 64.16 m → N 77.874199°
W 29.154968°		 →
↑
64.16 m
↓
↑
64.16 m
↓
N 77.873622°
W 29.157715°		 ← 64.16 m →
4 116 m²		 N 77.873622°
W 29.154968°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419010162353516 y=0.143131256103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419010162353516 × 217)
    floor (0.419010162353516 × 131072)
    floor (54920.5)     		tx = 54920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143131256103516 × 217)
    floor (0.143131256103516 × 131072)
    floor (18760.5)     		ty = 18760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54920 / 18760 ti = "17/54920/18760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54920/18760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54920 ÷ 217
    54920 ÷ 131072     		x = 0.41900634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18760 ÷ 217
    18760 ÷ 131072     		y = 0.14312744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41900634765625 × 2 - 1) × π
    -0.1619873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50889813
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14312744140625 × 2 - 1) × π
    0.7137451171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.24229641662775
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50889813} λ = -0.50889813}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24229641662775))-π/2
    2×atan(9.41492707657532)-π/2
    2×1.46497875119614-π/2
    2.92995750239228-1.57079632675     		φ = 1.35916118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50889813} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.157715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35916118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.874199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54920 KachelY 18760 -0.50889813 1.35916118 -29.157715 77.874199
    Oben rechts KachelX + 1 54921 KachelY 18760 -0.50885019 1.35916118 -29.154968 77.874199
    Unten links KachelX 54920 KachelY + 1 18761 -0.50889813 1.35915111 -29.157715 77.873622
    Unten rechts KachelX + 1 54921 KachelY + 1 18761 -0.50885019 1.35915111 -29.154968 77.873622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35916118-1.35915111) × R
    1.00700000000842e-05 × 6371000     		dl = 64.1559700005363m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35916118-1.35915111) × R
    1.00700000000842e-05 × 6371000     		dr = 64.1559700005363m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50889813--0.50885019) × cos(1.35916118) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.210058844568898 × 6371000     		do = 64.1573780459586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50889813--0.50885019) × cos(1.35915111) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.210068689883908 × 6371000     		du = 64.160385058581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35916118)-sin(1.35915111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210058844568898-0.210068689883908)×R²
    abs(-0.50885019--0.50889813)×9.84531501010966e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.84531501010966e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.84531501010966e-06×40589641000000     		ar = 4116.17528018089m²