Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54919 / 42977
↖ ↑ ↗
← N 52.534602°
W 29.160461°		 ← 185.75 m → N 52.534602°
W 29.157715°		 →
↑
185.78 m
↓
↑
185.78 m
↓
N 52.532931°
W 29.160461°		 ← 185.75 m →
34 508 m²		 N 52.532931°
W 29.157715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.419002532958984 y=0.327892303466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.419002532958984 × 217)
    floor (0.419002532958984 × 131072)
    floor (54919.5)     		tx = 54919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327892303466797 × 217)
    floor (0.327892303466797 × 131072)
    floor (42977.5)     		ty = 42977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54919 / 42977 ti = "17/54919/42977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54919/42977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54919 ÷ 217
    54919 ÷ 131072     		x = 0.418998718261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42977 ÷ 217
    42977 ÷ 131072     		y = 0.327888488769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418998718261719 × 2 - 1) × π
    -0.162002563476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.50894606
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327888488769531 × 2 - 1) × π
    0.344223022460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.08140851852885
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50894606} λ = -0.50894606}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08140851852885))-π/2
    2×atan(2.9488301091575)-π/2
    2×1.24384905473433-π/2
    2.48769810946866-1.57079632675     		φ = 0.91690178
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50894606} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.160461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91690178 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.534602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54919 KachelY 42977 -0.50894606 0.91690178 -29.160461 52.534602
    Oben rechts KachelX + 1 54920 KachelY 42977 -0.50889813 0.91690178 -29.157715 52.534602
    Unten links KachelX 54919 KachelY + 1 42978 -0.50894606 0.91687262 -29.160461 52.532931
    Unten rechts KachelX + 1 54920 KachelY + 1 42978 -0.50889813 0.91687262 -29.157715 52.532931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91690178-0.91687262) × R
    2.91599999999725e-05 × 6371000     		dl = 185.778359999825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91690178-0.91687262) × R
    2.91599999999725e-05 × 6371000     		dr = 185.778359999825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50894606--0.50889813) × cos(0.91690178) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.608282193929629 × 6371000     		do = 185.746285551319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50894606--0.50889813) × cos(0.91687262) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.60830533857072 × 6371000     		du = 185.753353045906m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91690178)-sin(0.91687262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.608282193929629-0.60830533857072)×R²
    abs(-0.50889813--0.50894606)×2.31446410909886e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.31446410909886e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.31446410909886e-05×40589641000000     		ar = 34508.2968019214m²