Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54917 / 42954
↖ ↑ ↗
← N 52.573012°
W 29.165955°		 ← 185.62 m → N 52.573012°
W 29.163208°		 →
↑
185.59 m
↓
↑
185.59 m
↓
N 52.571343°
W 29.165955°		 ← 185.63 m →
34 450 m²		 N 52.571343°
W 29.163208°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54917 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418987274169922 y=0.327716827392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418987274169922 × 217)
    floor (0.418987274169922 × 131072)
    floor (54917.5)     		tx = 54917
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327716827392578 × 217)
    floor (0.327716827392578 × 131072)
    floor (42954.5)     		ty = 42954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54917 / 42954 ti = "17/54917/42954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54917/42954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54917 ÷ 217
    54917 ÷ 131072     		x = 0.418983459472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42954 ÷ 217
    42954 ÷ 131072     		y = 0.327713012695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418983459472656 × 2 - 1) × π
    -0.162033081054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.50904194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327713012695312 × 2 - 1) × π
    0.344573974609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.08251106722011
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50904194} λ = -0.50904194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08251106722011))-π/2
    2×atan(2.95208313091301)-π/2
    2×1.24418423839279-π/2
    2.48836847678559-1.57079632675     		φ = 0.91757215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50904194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.165955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91757215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.573012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54917 KachelY 42954 -0.50904194 0.91757215 -29.165955 52.573012
    Oben rechts KachelX + 1 54918 KachelY 42954 -0.50899400 0.91757215 -29.163208 52.573012
    Unten links KachelX 54917 KachelY + 1 42955 -0.50904194 0.91754302 -29.165955 52.571343
    Unten rechts KachelX + 1 54918 KachelY + 1 42955 -0.50899400 0.91754302 -29.163208 52.571343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91757215-0.91754302) × R
    2.91300000000438e-05 × 6371000     		dl = 185.587230000279m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91757215-0.91754302) × R
    2.91300000000438e-05 × 6371000     		dr = 185.587230000279m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50904194--0.50899400) × cos(0.91757215) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.607749970649908 × 6371000     		do = 185.622484521035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50904194--0.50899400) × cos(0.91754302) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.607773103353396 × 6371000     		du = 185.629549844116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91757215)-sin(0.91754302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607749970649908-0.607773103353396)×R²
    abs(-0.50899400--0.50904194)×2.31327034879714e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.31327034879714e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.31327034879714e-05×40589641000000     		ar = 34449.8183473714m²