Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54917 / 16637
↖ ↑ ↗
← N 79.040004°
W 29.165955°		 ← 58.07 m → N 79.040004°
W 29.163208°		 →
↑
58.04 m
↓
↑
58.04 m
↓
N 79.039482°
W 29.165955°		 ← 58.07 m →
3 370 m²		 N 79.039482°
W 29.163208°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54917 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16637 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418987274169922 y=0.126934051513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418987274169922 × 217)
    floor (0.418987274169922 × 131072)
    floor (54917.5)     		tx = 54917
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126934051513672 × 217)
    floor (0.126934051513672 × 131072)
    floor (16637.5)     		ty = 16637
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54917 / 16637 ti = "17/54917/16637"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54917/16637.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54917 ÷ 217
    54917 ÷ 131072     		x = 0.418983459472656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16637 ÷ 217
    16637 ÷ 131072     		y = 0.126930236816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418983459472656 × 2 - 1) × π
    -0.162033081054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.50904194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126930236816406 × 2 - 1) × π
    0.746139526367188 × 3.1415926535     		Φ = 2.34406645452113
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50904194} λ = -0.50904194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34406645452113))-π/2
    2×atan(10.4235373378858)-π/2
    2×1.47515231960595-π/2
    2.95030463921191-1.57079632675     		φ = 1.37950831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50904194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.165955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37950831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.040004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54917 KachelY 16637 -0.50904194 1.37950831 -29.165955 79.040004
    Oben rechts KachelX + 1 54918 KachelY 16637 -0.50899400 1.37950831 -29.163208 79.040004
    Unten links KachelX 54917 KachelY + 1 16638 -0.50904194 1.37949920 -29.165955 79.039482
    Unten rechts KachelX + 1 54918 KachelY + 1 16638 -0.50899400 1.37949920 -29.163208 79.039482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37950831-1.37949920) × R
    9.11000000014539e-06 × 6371000     		dl = 58.0398100009263m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37950831-1.37949920) × R
    9.11000000014539e-06 × 6371000     		dr = 58.0398100009263m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50904194--0.50899400) × cos(1.37950831) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.190123575917037 × 6371000     		do = 58.0686338660036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50904194--0.50899400) × cos(1.37949920) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.190132519744271 × 6371000     		du = 58.0713655410549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37950831)-sin(1.37949920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.190123575917037-0.190132519744271)×R²
    abs(-0.50899400--0.50904194)×8.94382723373721e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.94382723373721e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.94382723373721e-06×40589641000000     		ar = 3370.37174955545m²