Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54913 / 42802
↖ ↑ ↗
← N 52.826002°
W 29.176941°		 ← 184.51 m → N 52.826002°
W 29.174194°		 →
↑
184.50 m
↓
↑
184.50 m
↓
N 52.824342°
W 29.176941°		 ← 184.52 m →
34 044 m²		 N 52.824342°
W 29.174194°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54913 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418956756591797 y=0.326557159423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418956756591797 × 217)
    floor (0.418956756591797 × 131072)
    floor (54913.5)     		tx = 54913
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326557159423828 × 217)
    floor (0.326557159423828 × 131072)
    floor (42802.5)     		ty = 42802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54913 / 42802 ti = "17/54913/42802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54913/42802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54913 ÷ 217
    54913 ÷ 131072     		x = 0.418952941894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42802 ÷ 217
    42802 ÷ 131072     		y = 0.326553344726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418952941894531 × 2 - 1) × π
    -0.162094116210938 × 3.1415926535     		Λ = -0.50923368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326553344726562 × 2 - 1) × π
    0.346893310546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.08979747596236
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50923368} λ = -0.50923368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08979747596236))-π/2
    2×atan(2.97367177156111)-π/2
    2×1.24639199495734-π/2
    2.49278398991469-1.57079632675     		φ = 0.92198766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50923368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.176941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92198766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.826002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54913 KachelY 42802 -0.50923368 0.92198766 -29.176941 52.826002
    Oben rechts KachelX + 1 54914 KachelY 42802 -0.50918575 0.92198766 -29.174194 52.826002
    Unten links KachelX 54913 KachelY + 1 42803 -0.50923368 0.92195870 -29.176941 52.824342
    Unten rechts KachelX + 1 54914 KachelY + 1 42803 -0.50918575 0.92195870 -29.174194 52.824342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92198766-0.92195870) × R
    2.89599999999668e-05 × 6371000     		dl = 184.504159999788m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92198766-0.92195870) × R
    2.89599999999668e-05 × 6371000     		dr = 184.504159999788m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50923368--0.50918575) × cos(0.92198766) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.604237575434265 × 6371000     		do = 184.511212636998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50923368--0.50918575) × cos(0.92195870) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.604260650630863 × 6371000     		du = 184.518258925874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92198766)-sin(0.92195870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604237575434265-0.604260650630863)×R²
    abs(-0.50918575--0.50923368)×2.30751965979437e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.30751965979437e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.30751965979437e-05×40589641000000     		ar = 34043.7363352359m²