Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54911 / 42627
↖ ↑ ↗
← N 53.115460°
W 29.182434°		 ← 183.32 m → N 53.115460°
W 29.179687°		 →
↑
183.29 m
↓
↑
183.29 m
↓
N 53.113812°
W 29.182434°		 ← 183.32 m →
33 602 m²		 N 53.113812°
W 29.179687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42627 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418941497802734 y=0.325222015380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418941497802734 × 217)
    floor (0.418941497802734 × 131072)
    floor (54911.5)     		tx = 54911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325222015380859 × 217)
    floor (0.325222015380859 × 131072)
    floor (42627.5)     		ty = 42627
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54911 / 42627 ti = "17/54911/42627"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54911/42627.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54911 ÷ 217
    54911 ÷ 131072     		x = 0.418937683105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42627 ÷ 217
    42627 ÷ 131072     		y = 0.325218200683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418937683105469 × 2 - 1) × π
    -0.162124633789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.50932956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325218200683594 × 2 - 1) × π
    0.349563598632812 × 3.1415926535     		Φ = 1.09818643339587
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50932956} λ = -0.50932956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09818643339587))-π/2
    2×atan(2.99872270617373)-π/2
    2×1.24891799405318-π/2
    2.49783598810635-1.57079632675     		φ = 0.92703966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50932956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.182434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92703966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.115460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54911 KachelY 42627 -0.50932956 0.92703966 -29.182434 53.115460
    Oben rechts KachelX + 1 54912 KachelY 42627 -0.50928162 0.92703966 -29.179687 53.115460
    Unten links KachelX 54911 KachelY + 1 42628 -0.50932956 0.92701089 -29.182434 53.113812
    Unten rechts KachelX + 1 54912 KachelY + 1 42628 -0.50928162 0.92701089 -29.179687 53.113812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92703966-0.92701089) × R
    2.87700000000113e-05 × 6371000     		dl = 183.293670000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92703966-0.92701089) × R
    2.87700000000113e-05 × 6371000     		dr = 183.293670000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50932956--0.50928162) × cos(0.92703966) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.600204426806097 × 6371000     		do = 183.317881208408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50932956--0.50928162) × cos(0.92701089) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.600227438145501 × 6371000     		du = 183.324909463774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92703966)-sin(0.92701089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600204426806097-0.600227438145501)×R²
    abs(-0.50928162--0.50932956)×2.30113394046327e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30113394046327e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30113394046327e-05×40589641000000     		ar = 33601.6513430959m²