Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54910 / 16535
↖ ↑ ↗
← N 79.093140°
W 29.185181°		 ← 57.79 m → N 79.093140°
W 29.182434°		 →
↑
57.78 m
↓
↑
57.78 m
↓
N 79.092620°
W 29.185181°		 ← 57.79 m →
3 340 m²		 N 79.092620°
W 29.182434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418933868408203 y=0.126155853271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418933868408203 × 217)
    floor (0.418933868408203 × 131072)
    floor (54910.5)     		tx = 54910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126155853271484 × 217)
    floor (0.126155853271484 × 131072)
    floor (16535.5)     		ty = 16535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54910 / 16535 ti = "17/54910/16535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54910/16535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54910 ÷ 217
    54910 ÷ 131072     		x = 0.418930053710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16535 ÷ 217
    16535 ÷ 131072     		y = 0.126152038574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418930053710938 × 2 - 1) × π
    -0.162139892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50937750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126152038574219 × 2 - 1) × π
    0.747695922851562 × 3.1415926535     		Φ = 2.34895601828237
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50937750} λ = -0.50937750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34895601828237))-π/2
    2×atan(10.4746286937479)-π/2
    2×1.47561601635643-π/2
    2.95123203271286-1.57079632675     		φ = 1.38043571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50937750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.185181°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38043571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.093140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54910 KachelY 16535 -0.50937750 1.38043571 -29.185181 79.093140
    Oben rechts KachelX + 1 54911 KachelY 16535 -0.50932956 1.38043571 -29.182434 79.093140
    Unten links KachelX 54910 KachelY + 1 16536 -0.50937750 1.38042664 -29.185181 79.092620
    Unten rechts KachelX + 1 54911 KachelY + 1 16536 -0.50932956 1.38042664 -29.182434 79.092620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38043571-1.38042664) × R
    9.0699999999444e-06 × 6371000     		dl = 57.7849699996458m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38043571-1.38042664) × R
    9.0699999999444e-06 × 6371000     		dr = 57.7849699996458m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50937750--0.50932956) × cos(1.38043571) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.189213009908641 × 6371000     		do = 57.7905235690698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50937750--0.50932956) × cos(1.38042664) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.189221916060972 × 6371000     		du = 57.7932437372363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38043571)-sin(1.38042664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189213009908641-0.189221916060972)×R²
    abs(-0.50932956--0.50937750)×8.9061523318168e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.9061523318168e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.9061523318168e-06×40589641000000     		ar = 3339.50226300328m²