Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54909 / 42941
↖ ↑ ↗
← N 52.594706°
W 29.187927°		 ← 185.49 m → N 52.594706°
W 29.185181°		 →
↑
185.52 m
↓
↑
185.52 m
↓
N 52.593038°
W 29.187927°		 ← 185.50 m →
34 414 m²		 N 52.593038°
W 29.185181°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418926239013672 y=0.327617645263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418926239013672 × 217)
    floor (0.418926239013672 × 131072)
    floor (54909.5)     		tx = 54909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.327617645263672 × 217)
    floor (0.327617645263672 × 131072)
    floor (42941.5)     		ty = 42941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54909 / 42941 ti = "17/54909/42941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54909/42941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54909 ÷ 217
    54909 ÷ 131072     		x = 0.418922424316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42941 ÷ 217
    42941 ÷ 131072     		y = 0.327613830566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418922424316406 × 2 - 1) × π
    -0.162155151367188 × 3.1415926535     		Λ = -0.50942543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327613830566406 × 2 - 1) × π
    0.344772338867188 × 3.1415926535     		Φ = 1.08313424691517
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50942543} λ = -0.50942543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08313424691517))-π/2
    2×atan(2.95392338252249)-π/2
    2×1.24437356025885-π/2
    2.4887471205177-1.57079632675     		φ = 0.91795079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50942543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.187927°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91795079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.594706°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54909 KachelY 42941 -0.50942543 0.91795079 -29.187927 52.594706
    Oben rechts KachelX + 1 54910 KachelY 42941 -0.50937750 0.91795079 -29.185181 52.594706
    Unten links KachelX 54909 KachelY + 1 42942 -0.50942543 0.91792167 -29.187927 52.593038
    Unten rechts KachelX + 1 54910 KachelY + 1 42942 -0.50937750 0.91792167 -29.185181 52.593038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91795079-0.91792167) × R
    2.91199999999936e-05 × 6371000     		dl = 185.523519999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91795079-0.91792167) × R
    2.91199999999936e-05 × 6371000     		dr = 185.523519999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50942543--0.50937750) × cos(0.91795079) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.607449238299988 × 6371000     		do = 185.491932528922m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50942543--0.50937750) × cos(0.91792167) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.607472369761887 × 6371000     		du = 185.498995999084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91795079)-sin(0.91792167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607449238299988-0.607472369761887)×R²
    abs(-0.50937750--0.50942543)×2.31314618993617e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.31314618993617e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.31314618993617e-05×40589641000000     		ar = 34413.7714768051m²