Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54909 / 42828
↖ ↑ ↗
← N 52.782831°
W 29.187927°		 ← 184.69 m → N 52.782831°
W 29.185181°		 →
↑
184.70 m
↓
↑
184.70 m
↓
N 52.781170°
W 29.187927°		 ← 184.70 m →
34 113 m²		 N 52.781170°
W 29.185181°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42828 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418926239013672 y=0.326755523681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418926239013672 × 217)
    floor (0.418926239013672 × 131072)
    floor (54909.5)     		tx = 54909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326755523681641 × 217)
    floor (0.326755523681641 × 131072)
    floor (42828.5)     		ty = 42828
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54909 / 42828 ti = "17/54909/42828"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54909/42828.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54909 ÷ 217
    54909 ÷ 131072     		x = 0.418922424316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42828 ÷ 217
    42828 ÷ 131072     		y = 0.326751708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418922424316406 × 2 - 1) × π
    -0.162155151367188 × 3.1415926535     		Λ = -0.50942543
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326751708984375 × 2 - 1) × π
    0.34649658203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.08855111657224
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50942543} λ = -0.50942543}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08855111657224))-π/2
    2×atan(2.96996781653453)-π/2
    2×1.24601525936858-π/2
    2.49203051873717-1.57079632675     		φ = 0.92123419
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50942543} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.187927°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92123419 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.782831°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54909 KachelY 42828 -0.50942543 0.92123419 -29.187927 52.782831
    Oben rechts KachelX + 1 54910 KachelY 42828 -0.50937750 0.92123419 -29.185181 52.782831
    Unten links KachelX 54909 KachelY + 1 42829 -0.50942543 0.92120520 -29.187927 52.781170
    Unten rechts KachelX + 1 54910 KachelY + 1 42829 -0.50937750 0.92120520 -29.185181 52.781170
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92123419-0.92120520) × R
    2.89900000000065e-05 × 6371000     		dl = 184.695290000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92123419-0.92120520) × R
    2.89900000000065e-05 × 6371000     		dr = 184.695290000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50942543--0.50937750) × cos(0.92123419) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.60483777192918 × 6371000     		do = 184.694489856657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50942543--0.50937750) × cos(0.92120520) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.604860857824152 × 6371000     		du = 184.70153941241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92123419)-sin(0.92120520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60483777192918-0.604860857824152)×R²
    abs(-0.50937750--0.50942543)×2.30858949722412e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.30858949722412e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.30858949722412e-05×40589641000000     		ar = 34112.8533778415m²