Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54907 / 43030
↖ ↑ ↗
← N 52.445966°
W 29.193421°		 ← 186.16 m → N 52.445966°
W 29.190674°		 →
↑
186.16 m
↓
↑
186.16 m
↓
N 52.444292°
W 29.193421°		 ← 186.17 m →
34 656 m²		 N 52.444292°
W 29.190674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54907 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418910980224609 y=0.328296661376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418910980224609 × 217)
    floor (0.418910980224609 × 131072)
    floor (54907.5)     		tx = 54907
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328296661376953 × 217)
    floor (0.328296661376953 × 131072)
    floor (43030.5)     		ty = 43030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54907 / 43030 ti = "17/54907/43030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54907/43030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54907 ÷ 217
    54907 ÷ 131072     		x = 0.418907165527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43030 ÷ 217
    43030 ÷ 131072     		y = 0.328292846679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418907165527344 × 2 - 1) × π
    -0.162185668945312 × 3.1415926535     		Λ = -0.50952131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328292846679688 × 2 - 1) × π
    0.343414306640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.07886786284898
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50952131} λ = -0.50952131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07886786284898))-π/2
    2×atan(2.94134765638468)-π/2
    2×1.24307555759563-π/2
    2.48615111519126-1.57079632675     		φ = 0.91535479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50952131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.193421°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91535479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.445966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54907 KachelY 43030 -0.50952131 0.91535479 -29.193421 52.445966
    Oben rechts KachelX + 1 54908 KachelY 43030 -0.50947337 0.91535479 -29.190674 52.445966
    Unten links KachelX 54907 KachelY + 1 43031 -0.50952131 0.91532557 -29.193421 52.444292
    Unten rechts KachelX + 1 54908 KachelY + 1 43031 -0.50947337 0.91532557 -29.190674 52.444292
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91535479-0.91532557) × R
    2.9219999999941e-05 × 6371000     		dl = 186.160619999624m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91535479-0.91532557) × R
    2.9219999999941e-05 × 6371000     		dr = 186.160619999624m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50952131--0.50947337) × cos(0.91535479) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.60950934377917 × 6371000     		do = 186.159842360545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50952131--0.50947337) × cos(0.91532557) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.609532508517972 × 6371000     		du = 186.166917468036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91535479)-sin(0.91532557))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.60950934377917-0.609532508517972)×R²
    abs(-0.50947337--0.50952131)×2.31647388021505e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31647388021505e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31647388021505e-05×40589641000000     		ar = 34656.2902285454m²