Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54906 / 42827
↖ ↑ ↗
← N 52.784493°
W 29.196167°		 ← 184.69 m → N 52.784493°
W 29.193421°		 →
↑
184.76 m
↓
↑
184.76 m
↓
N 52.782831°
W 29.196167°		 ← 184.69 m →
34 123 m²		 N 52.782831°
W 29.193421°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418903350830078 y=0.326747894287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418903350830078 × 217)
    floor (0.418903350830078 × 131072)
    floor (54906.5)     		tx = 54906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326747894287109 × 217)
    floor (0.326747894287109 × 131072)
    floor (42827.5)     		ty = 42827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54906 / 42827 ti = "17/54906/42827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54906/42827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54906 ÷ 217
    54906 ÷ 131072     		x = 0.418899536132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42827 ÷ 217
    42827 ÷ 131072     		y = 0.326744079589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418899536132812 × 2 - 1) × π
    -0.162200927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50956924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326744079589844 × 2 - 1) × π
    0.346511840820312 × 3.1415926535     		Φ = 1.08859905347186
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50956924} λ = -0.50956924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08859905347186))-π/2
    2×atan(2.97011019099609)-π/2
    2×1.24602975611562-π/2
    2.49205951223124-1.57079632675     		φ = 0.92126319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50956924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.196167°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92126319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.784493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54906 KachelY 42827 -0.50956924 0.92126319 -29.196167 52.784493
    Oben rechts KachelX + 1 54907 KachelY 42827 -0.50952131 0.92126319 -29.193421 52.784493
    Unten links KachelX 54906 KachelY + 1 42828 -0.50956924 0.92123419 -29.196167 52.782831
    Unten rechts KachelX + 1 54907 KachelY + 1 42828 -0.50952131 0.92123419 -29.193421 52.782831
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92126319-0.92123419) × R
    2.90000000000568e-05 × 6371000     		dl = 184.759000000362m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92126319-0.92123419) × R
    2.90000000000568e-05 × 6371000     		dr = 184.759000000362m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50956924--0.50952131) × cos(0.92126319) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.604814677562227 × 6371000     		do = 184.68743771431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50956924--0.50952131) × cos(0.92123419) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.60483777192918 × 6371000     		du = 184.694489857084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92126319)-sin(0.92123419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604814677562227-0.60483777192918)×R²
    abs(-0.50952131--0.50956924)×2.30943669525807e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.30943669525807e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.30943669525807e-05×40589641000000     		ar = 34123.3177805565m²