Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54906 / 42807
↖ ↑ ↗
← N 52.817703°
W 29.196167°		 ← 184.55 m → N 52.817703°
W 29.193421°		 →
↑
184.57 m
↓
↑
184.57 m
↓
N 52.816043°
W 29.196167°		 ← 184.55 m →
34 062 m²		 N 52.816043°
W 29.193421°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54906 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418903350830078 y=0.326595306396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418903350830078 × 217)
    floor (0.418903350830078 × 131072)
    floor (54906.5)     		tx = 54906
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326595306396484 × 217)
    floor (0.326595306396484 × 131072)
    floor (42807.5)     		ty = 42807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54906 / 42807 ti = "17/54906/42807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54906/42807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54906 ÷ 217
    54906 ÷ 131072     		x = 0.418899536132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42807 ÷ 217
    42807 ÷ 131072     		y = 0.326591491699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418899536132812 × 2 - 1) × π
    -0.162200927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.50956924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326591491699219 × 2 - 1) × π
    0.346817016601562 × 3.1415926535     		Φ = 1.08955779146426
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50956924} λ = -0.50956924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08955779146426))-π/2
    2×atan(2.97295911394493)-π/2
    2×1.24631957485266-π/2
    2.49263914970532-1.57079632675     		φ = 0.92184282
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50956924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.196167°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92184282 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.817703°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54906 KachelY 42807 -0.50956924 0.92184282 -29.196167 52.817703
    Oben rechts KachelX + 1 54907 KachelY 42807 -0.50952131 0.92184282 -29.193421 52.817703
    Unten links KachelX 54906 KachelY + 1 42808 -0.50956924 0.92181385 -29.196167 52.816043
    Unten rechts KachelX + 1 54907 KachelY + 1 42808 -0.50952131 0.92181385 -29.193421 52.816043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92184282-0.92181385) × R
    2.8969999999906e-05 × 6371000     		dl = 184.567869999401m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92184282-0.92181385) × R
    2.8969999999906e-05 × 6371000     		dr = 184.567869999401m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50956924--0.50952131) × cos(0.92184282) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.604352978217906 × 6371000     		do = 184.546452265279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50956924--0.50952131) × cos(0.92181385) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.604376058846691 × 6371000     		du = 184.553500212938m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92184282)-sin(0.92181385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604352978217906-0.604376058846691)×R²
    abs(-0.50952131--0.50956924)×2.30806287846441e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.30806287846441e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.30806287846441e-05×40589641000000     		ar = 34061.9960250899m²