Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54905 / 16563
↖ ↑ ↗
← N 79.078579°
W 29.198914°		 ← 57.87 m → N 79.078579°
W 29.196167°		 →
↑
57.85 m
↓
↑
57.85 m
↓
N 79.078059°
W 29.198914°		 ← 57.87 m →
3 348 m²		 N 79.078059°
W 29.196167°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418895721435547 y=0.126369476318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418895721435547 × 217)
    floor (0.418895721435547 × 131072)
    floor (54905.5)     		tx = 54905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126369476318359 × 217)
    floor (0.126369476318359 × 131072)
    floor (16563.5)     		ty = 16563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54905 / 16563 ti = "17/54905/16563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54905/16563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54905 ÷ 217
    54905 ÷ 131072     		x = 0.418891906738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16563 ÷ 217
    16563 ÷ 131072     		y = 0.126365661621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418891906738281 × 2 - 1) × π
    -0.162216186523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.50961718
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126365661621094 × 2 - 1) × π
    0.747268676757812 × 3.1415926535     		Φ = 2.34761378509301
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50961718} λ = -0.50961718}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34761378509301))-π/2
    2×atan(10.4605787307416)-π/2
    2×1.47548894864582-π/2
    2.95097789729163-1.57079632675     		φ = 1.38018157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50961718} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.198914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38018157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.078579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54905 KachelY 16563 -0.50961718 1.38018157 -29.198914 79.078579
    Oben rechts KachelX + 1 54906 KachelY 16563 -0.50956924 1.38018157 -29.196167 79.078579
    Unten links KachelX 54905 KachelY + 1 16564 -0.50961718 1.38017249 -29.198914 79.078059
    Unten rechts KachelX + 1 54906 KachelY + 1 16564 -0.50956924 1.38017249 -29.196167 79.078059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38018157-1.38017249) × R
    9.07999999988363e-06 × 6371000     		dl = 57.8486799992586m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38018157-1.38017249) × R
    9.07999999988363e-06 × 6371000     		dr = 57.8486799992586m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50961718--0.50956924) × cos(1.38018157) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189462553027297 × 6371000     		do = 57.8667404606133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50961718--0.50956924) × cos(1.38017249) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189471468562047 × 6371000     		du = 57.8694634944121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38018157)-sin(1.38017249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189462553027297-0.189471468562047)×R²
    abs(-0.50956924--0.50961718)×8.91553475074192e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.91553475074192e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.91553475074192e-06×40589641000000     		ar = 3347.5933136505m²