Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54904 / 43048
↖ ↑ ↗
← N 52.415822°
W 29.201660°		 ← 186.29 m → N 52.415822°
W 29.198914°		 →
↑
186.22 m
↓
↑
186.22 m
↓
N 52.414148°
W 29.201660°		 ← 186.29 m →
34 692 m²		 N 52.414148°
W 29.198914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418888092041016 y=0.328433990478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418888092041016 × 217)
    floor (0.418888092041016 × 131072)
    floor (54904.5)     		tx = 54904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328433990478516 × 217)
    floor (0.328433990478516 × 131072)
    floor (43048.5)     		ty = 43048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54904 / 43048 ti = "17/54904/43048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54904/43048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54904 ÷ 217
    54904 ÷ 131072     		x = 0.41888427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43048 ÷ 217
    43048 ÷ 131072     		y = 0.32843017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41888427734375 × 2 - 1) × π
    -0.1622314453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.50966512
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32843017578125 × 2 - 1) × π
    0.3431396484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.07800499865582
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50966512} λ = -0.50966512}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07800499865582))-π/2
    2×atan(2.93881076746506)-π/2
    2×1.2428125057517-π/2
    2.48562501150341-1.57079632675     		φ = 0.91482868
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50966512} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.201660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91482868 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.415822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54904 KachelY 43048 -0.50966512 0.91482868 -29.201660 52.415822
    Oben rechts KachelX + 1 54905 KachelY 43048 -0.50961718 0.91482868 -29.198914 52.415822
    Unten links KachelX 54904 KachelY + 1 43049 -0.50966512 0.91479945 -29.201660 52.414148
    Unten rechts KachelX + 1 54905 KachelY + 1 43049 -0.50961718 0.91479945 -29.198914 52.414148
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91482868-0.91479945) × R
    2.92299999999912e-05 × 6371000     		dl = 186.224329999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91482868-0.91479945) × R
    2.92299999999912e-05 × 6371000     		dr = 186.224329999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50966512--0.50961718) × cos(0.91482868) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.609926348305327 × 6371000     		do = 186.28720627653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50966512--0.50961718) × cos(0.91479945) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.609949511595202 × 6371000     		du = 186.294280941481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91482868)-sin(0.91479945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609926348305327-0.609949511595202)×R²
    abs(-0.50961718--0.50966512)×2.3163289874506e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3163289874506e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3163289874506e-05×40589641000000     		ar = 34691.8689161302m²