Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54903 / 43049
↖ ↑ ↗
← N 52.414148°
W 29.204407°		 ← 186.26 m → N 52.414148°
W 29.201660°		 →
↑
186.29 m
↓
↑
186.29 m
↓
N 52.412472°
W 29.204407°		 ← 186.26 m →
34 698 m²		 N 52.412472°
W 29.201660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418880462646484 y=0.328441619873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418880462646484 × 217)
    floor (0.418880462646484 × 131072)
    floor (54903.5)     		tx = 54903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328441619873047 × 217)
    floor (0.328441619873047 × 131072)
    floor (43049.5)     		ty = 43049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54903 / 43049 ti = "17/54903/43049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54903/43049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54903 ÷ 217
    54903 ÷ 131072     		x = 0.418876647949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43049 ÷ 217
    43049 ÷ 131072     		y = 0.328437805175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418876647949219 × 2 - 1) × π
    -0.162246704101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.50971305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328437805175781 × 2 - 1) × π
    0.343124389648438 × 3.1415926535     		Φ = 1.0779570617562
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50971305} λ = -0.50971305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0779570617562))-π/2
    2×atan(2.93866989336486)-π/2
    2×1.24279788648505-π/2
    2.4855957729701-1.57079632675     		φ = 0.91479945
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50971305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.204407°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91479945 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.414148°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54903 KachelY 43049 -0.50971305 0.91479945 -29.204407 52.414148
    Oben rechts KachelX + 1 54904 KachelY 43049 -0.50966512 0.91479945 -29.201660 52.414148
    Unten links KachelX 54903 KachelY + 1 43050 -0.50971305 0.91477021 -29.204407 52.412472
    Unten rechts KachelX + 1 54904 KachelY + 1 43050 -0.50966512 0.91477021 -29.201660 52.412472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91479945-0.91477021) × R
    2.92399999999304e-05 × 6371000     		dl = 186.288039999557m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91479945-0.91477021) × R
    2.92399999999304e-05 × 6371000     		dr = 186.288039999557m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50971305--0.50966512) × cos(0.91479945) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.609949511595202 × 6371000     		do = 186.255421058333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50971305--0.50966512) × cos(0.91477021) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.609972682288164 × 6371000     		du = 186.262496508173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91479945)-sin(0.91477021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.609949511595202-0.609972682288164)×R²
    abs(-0.50966512--0.50971305)×2.31706929623154e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.31706929623154e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.31706929623154e-05×40589641000000     		ar = 34697.8163667432m²