Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54903 / 16619
↖ ↑ ↗
← N 79.049399°
W 29.204407°		 ← 58.01 m → N 79.049399°
W 29.201660°		 →
↑
57.98 m
↓
↑
57.98 m
↓
N 79.048878°
W 29.204407°		 ← 58.01 m →
3 363 m²		 N 79.048878°
W 29.201660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16619 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418880462646484 y=0.126796722412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418880462646484 × 217)
    floor (0.418880462646484 × 131072)
    floor (54903.5)     		tx = 54903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126796722412109 × 217)
    floor (0.126796722412109 × 131072)
    floor (16619.5)     		ty = 16619
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54903 / 16619 ti = "17/54903/16619"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54903/16619.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54903 ÷ 217
    54903 ÷ 131072     		x = 0.418876647949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16619 ÷ 217
    16619 ÷ 131072     		y = 0.126792907714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418876647949219 × 2 - 1) × π
    -0.162246704101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.50971305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126792907714844 × 2 - 1) × π
    0.746414184570312 × 3.1415926535     		Φ = 2.34492931871429
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50971305} λ = -0.50971305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34492931871429))-π/2
    2×atan(10.4325353164792)-π/2
    2×1.47523431028442-π/2
    2.95046862056884-1.57079632675     		φ = 1.37967229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50971305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.204407°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37967229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.049399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54903 KachelY 16619 -0.50971305 1.37967229 -29.204407 79.049399
    Oben rechts KachelX + 1 54904 KachelY 16619 -0.50966512 1.37967229 -29.201660 79.049399
    Unten links KachelX 54903 KachelY + 1 16620 -0.50971305 1.37966319 -29.204407 79.048878
    Unten rechts KachelX + 1 54904 KachelY + 1 16620 -0.50966512 1.37966319 -29.201660 79.048878
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37967229-1.37966319) × R
    9.09999999998412e-06 × 6371000     		dl = 57.9760999998988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37967229-1.37966319) × R
    9.09999999998412e-06 × 6371000     		dr = 57.9760999998988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50971305--0.50966512) × cos(1.37967229) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.189962584329385 × 6371000     		do = 58.0073603749026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50971305--0.50966512) × cos(1.37966319) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.189971518622626 × 6371000     		du = 58.0100885688234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37967229)-sin(1.37966319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189962584329385-0.189971518622626)×R²
    abs(-0.50966512--0.50971305)×8.9342932415859e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.9342932415859e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.9342932415859e-06×40589641000000     		ar = 3363.11961090325m²