Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54903 / 16560
↖ ↑ ↗
← N 79.080140°
W 29.204407°		 ← 57.85 m → N 79.080140°
W 29.201660°		 →
↑
57.91 m
↓
↑
57.91 m
↓
N 79.079619°
W 29.204407°		 ← 57.85 m →
3 350 m²		 N 79.079619°
W 29.201660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418880462646484 y=0.126346588134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418880462646484 × 217)
    floor (0.418880462646484 × 131072)
    floor (54903.5)     		tx = 54903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126346588134766 × 217)
    floor (0.126346588134766 × 131072)
    floor (16560.5)     		ty = 16560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54903 / 16560 ti = "17/54903/16560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54903/16560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54903 ÷ 217
    54903 ÷ 131072     		x = 0.418876647949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16560 ÷ 217
    16560 ÷ 131072     		y = 0.1263427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418876647949219 × 2 - 1) × π
    -0.162246704101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.50971305
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1263427734375 × 2 - 1) × π
    0.747314453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.34775759579187
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50971305} λ = -0.50971305}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34775759579187))-π/2
    2×atan(10.4620831820549)-π/2
    2×1.47550257105505-π/2
    2.95100514211011-1.57079632675     		φ = 1.38020882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50971305} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.204407°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38020882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.080140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54903 KachelY 16560 -0.50971305 1.38020882 -29.204407 79.080140
    Oben rechts KachelX + 1 54904 KachelY 16560 -0.50966512 1.38020882 -29.201660 79.080140
    Unten links KachelX 54903 KachelY + 1 16561 -0.50971305 1.38019973 -29.204407 79.079619
    Unten rechts KachelX + 1 54904 KachelY + 1 16561 -0.50966512 1.38019973 -29.201660 79.079619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38020882-1.38019973) × R
    9.0900000000449e-06 × 6371000     		dl = 57.912390000286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38020882-1.38019973) × R
    9.0900000000449e-06 × 6371000     		dr = 57.912390000286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50971305--0.50966512) × cos(1.38020882) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.189435796510393 × 6371000     		do = 57.8464993771158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50971305--0.50966512) × cos(1.38019973) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.189444721910934 × 6371000     		du = 57.8492248555437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38020882)-sin(1.38019973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189435796510393-0.189444721910934)×R²
    abs(-0.50966512--0.50971305)×8.9254005413153e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.9254005413153e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.9254005413153e-06×40589641000000     		ar = 3350.10795159803m²