Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54902 / 43158
↖ ↑ ↗
← N 52.231164°
W 29.207153°		 ← 187.07 m → N 52.231164°
W 29.204407°		 →
↑
187.05 m
↓
↑
187.05 m
↓
N 52.229482°
W 29.207153°		 ← 187.07 m →
34 992 m²		 N 52.229482°
W 29.204407°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54902 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418872833251953 y=0.329273223876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418872833251953 × 217)
    floor (0.418872833251953 × 131072)
    floor (54902.5)     		tx = 54902
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329273223876953 × 217)
    floor (0.329273223876953 × 131072)
    floor (43158.5)     		ty = 43158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54902 / 43158 ti = "17/54902/43158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54902/43158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54902 ÷ 217
    54902 ÷ 131072     		x = 0.418869018554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43158 ÷ 217
    43158 ÷ 131072     		y = 0.329269409179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418869018554688 × 2 - 1) × π
    -0.162261962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.50976099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329269409179688 × 2 - 1) × π
    0.341461181640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.07273193969762
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50976099} λ = -0.50976099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07273193969762))-π/2
    2×atan(2.92335503034016)-π/2
    2×1.24120105522328-π/2
    2.48240211044657-1.57079632675     		φ = 0.91160578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50976099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.207153°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91160578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.231164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54902 KachelY 43158 -0.50976099 0.91160578 -29.207153 52.231164
    Oben rechts KachelX + 1 54903 KachelY 43158 -0.50971305 0.91160578 -29.204407 52.231164
    Unten links KachelX 54902 KachelY + 1 43159 -0.50976099 0.91157642 -29.207153 52.229482
    Unten rechts KachelX + 1 54903 KachelY + 1 43159 -0.50971305 0.91157642 -29.204407 52.229482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91160578-0.91157642) × R
    2.93599999999783e-05 × 6371000     		dl = 187.052559999862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91160578-0.91157642) × R
    2.93599999999783e-05 × 6371000     		dr = 187.052559999862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50976099--0.50971305) × cos(0.91160578) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.61247718943796 × 6371000     		do = 187.066298817086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50976099--0.50971305) × cos(0.91157642) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.61250039790935 × 6371000     		du = 187.073387281635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91160578)-sin(0.91157642))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61247718943796-0.61250039790935)×R²
    abs(-0.50971305--0.50976099)×2.32084713894798e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32084713894798e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32084713894798e-05×40589641000000     		ar = 34991.8930436328m²