Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54902 / 17754
↖ ↑ ↗
← N 78.441125°
W 29.207153°		 ← 61.20 m → N 78.441125°
W 29.204407°		 →
↑
61.16 m
↓
↑
61.16 m
↓
N 78.440575°
W 29.207153°		 ← 61.20 m →
3 743 m²		 N 78.440575°
W 29.204407°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54902 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17754 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418872833251953 y=0.135456085205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418872833251953 × 217)
    floor (0.418872833251953 × 131072)
    floor (54902.5)     		tx = 54902
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135456085205078 × 217)
    floor (0.135456085205078 × 131072)
    floor (17754.5)     		ty = 17754
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54902 / 17754 ti = "17/54902/17754"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54902/17754.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54902 ÷ 217
    54902 ÷ 131072     		x = 0.418869018554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17754 ÷ 217
    17754 ÷ 131072     		y = 0.135452270507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418869018554688 × 2 - 1) × π
    -0.162261962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.50976099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135452270507812 × 2 - 1) × π
    0.729095458984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.29052093764552
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50976099} λ = -0.50976099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29052093764552))-π/2
    2×atan(9.88008324810189)-π/2
    2×1.46992611424449-π/2
    2.93985222848899-1.57079632675     		φ = 1.36905590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50976099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.207153°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36905590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.441125°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54902 KachelY 17754 -0.50976099 1.36905590 -29.207153 78.441125
    Oben rechts KachelX + 1 54903 KachelY 17754 -0.50971305 1.36905590 -29.204407 78.441125
    Unten links KachelX 54902 KachelY + 1 17755 -0.50976099 1.36904630 -29.207153 78.440575
    Unten rechts KachelX + 1 54903 KachelY + 1 17755 -0.50971305 1.36904630 -29.204407 78.440575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36905590-1.36904630) × R
    9.60000000005401e-06 × 6371000     		dl = 61.1616000003441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36905590-1.36904630) × R
    9.60000000005401e-06 × 6371000     		dr = 61.1616000003441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50976099--0.50971305) × cos(1.36905590) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.200374763173672 × 6371000     		do = 61.1996103196033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50976099--0.50971305) × cos(1.36904630) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.200384168469951 × 6371000     		du = 61.2024829391793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36905590)-sin(1.36904630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200374763173672-0.200384168469951)×R²
    abs(-0.50971305--0.50976099)×9.40529627929676e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.40529627929676e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.40529627929676e-06×40589641000000     		ar = 3743.15393372911m²