Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54901 / 42527
↖ ↑ ↗
← N 53.279995°
W 29.209900°		 ← 182.62 m → N 53.279995°
W 29.207153°		 →
↑
182.59 m
↓
↑
182.59 m
↓
N 53.278353°
W 29.209900°		 ← 182.62 m →
33 345 m²		 N 53.278353°
W 29.207153°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418865203857422 y=0.324459075927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418865203857422 × 217)
    floor (0.418865203857422 × 131072)
    floor (54901.5)     		tx = 54901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324459075927734 × 217)
    floor (0.324459075927734 × 131072)
    floor (42527.5)     		ty = 42527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54901 / 42527 ti = "17/54901/42527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54901/42527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54901 ÷ 217
    54901 ÷ 131072     		x = 0.418861389160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42527 ÷ 217
    42527 ÷ 131072     		y = 0.324455261230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418861389160156 × 2 - 1) × π
    -0.162277221679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.50980893
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324455261230469 × 2 - 1) × π
    0.351089477539062 × 3.1415926535     		Φ = 1.10298012335787
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50980893} λ = -0.50980893}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10298012335787))-π/2
    2×atan(3.01313216274937)-π/2
    2×1.25035383461842-π/2
    2.50070766923684-1.57079632675     		φ = 0.92991134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50980893} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.209900°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92991134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.279995°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54901 KachelY 42527 -0.50980893 0.92991134 -29.209900 53.279995
    Oben rechts KachelX + 1 54902 KachelY 42527 -0.50976099 0.92991134 -29.207153 53.279995
    Unten links KachelX 54901 KachelY + 1 42528 -0.50980893 0.92988268 -29.209900 53.278353
    Unten rechts KachelX + 1 54902 KachelY + 1 42528 -0.50976099 0.92988268 -29.207153 53.278353
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92991134-0.92988268) × R
    2.86600000000137e-05 × 6371000     		dl = 182.592860000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92991134-0.92988268) × R
    2.86600000000137e-05 × 6371000     		dr = 182.592860000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50980893--0.50976099) × cos(0.92991134) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.597905051561498 × 6371000     		do = 182.615592823212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50980893--0.50976099) × cos(0.92988268) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.597928024224259 × 6371000     		du = 182.622609265735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92991134)-sin(0.92988268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597905051561498-0.597928024224259)×R²
    abs(-0.50976099--0.50980893)×2.29726627605231e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.29726627605231e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.29726627605231e-05×40589641000000     		ar = 33344.9439525984m²