Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54901 / 17753
↖ ↑ ↗
← N 78.441676°
W 29.209900°		 ← 61.20 m → N 78.441676°
W 29.207153°		 →
↑
61.23 m
↓
↑
61.23 m
↓
N 78.441125°
W 29.209900°		 ← 61.20 m →
3 747 m²		 N 78.441125°
W 29.207153°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418865203857422 y=0.135448455810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418865203857422 × 217)
    floor (0.418865203857422 × 131072)
    floor (54901.5)     		tx = 54901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135448455810547 × 217)
    floor (0.135448455810547 × 131072)
    floor (17753.5)     		ty = 17753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54901 / 17753 ti = "17/54901/17753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54901/17753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54901 ÷ 217
    54901 ÷ 131072     		x = 0.418861389160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17753 ÷ 217
    17753 ÷ 131072     		y = 0.135444641113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418861389160156 × 2 - 1) × π
    -0.162277221679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.50980893
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135444641113281 × 2 - 1) × π
    0.729110717773438 × 3.1415926535     		Φ = 2.29056887454514
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50980893} λ = -0.50980893}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29056887454514))-π/2
    2×atan(9.88055688001293)-π/2
    2×1.46993091680413-π/2
    2.93986183360826-1.57079632675     		φ = 1.36906551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50980893} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.209900°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36906551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.441676°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54901 KachelY 17753 -0.50980893 1.36906551 -29.209900 78.441676
    Oben rechts KachelX + 1 54902 KachelY 17753 -0.50976099 1.36906551 -29.207153 78.441676
    Unten links KachelX 54901 KachelY + 1 17754 -0.50980893 1.36905590 -29.209900 78.441125
    Unten rechts KachelX + 1 54902 KachelY + 1 17754 -0.50976099 1.36905590 -29.207153 78.441125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36906551-1.36905590) × R
    9.60999999999324e-06 × 6371000     		dl = 61.2253099999569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36906551-1.36905590) × R
    9.60999999999324e-06 × 6371000     		dr = 61.2253099999569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50980893--0.50976099) × cos(1.36906551) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.200365348061713 × 6371000     		do = 61.1967347022079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50980893--0.50976099) × cos(1.36905590) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.200374763173672 × 6371000     		du = 61.199610319745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36906551)-sin(1.36905590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.200365348061713-0.200374763173672)×R²
    abs(-0.50976099--0.50980893)×9.41511195828859e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.41511195828859e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.41511195828859e-06×40589641000000     		ar = 3746.87708336954m²