Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54901 / 16774
↖ ↑ ↗
← N 78.968233°
W 29.209900°		 ← 58.44 m → N 78.968233°
W 29.207153°		 →
↑
58.42 m
↓
↑
58.42 m
↓
N 78.967708°
W 29.209900°		 ← 58.45 m →
3 415 m²		 N 78.967708°
W 29.207153°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54901 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16774 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418865203857422 y=0.127979278564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418865203857422 × 217)
    floor (0.418865203857422 × 131072)
    floor (54901.5)     		tx = 54901
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.127979278564453 × 217)
    floor (0.127979278564453 × 131072)
    floor (16774.5)     		ty = 16774
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54901 / 16774 ti = "17/54901/16774"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54901/16774.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54901 ÷ 217
    54901 ÷ 131072     		x = 0.418861389160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16774 ÷ 217
    16774 ÷ 131072     		y = 0.127975463867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418861389160156 × 2 - 1) × π
    -0.162277221679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.50980893
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.127975463867188 × 2 - 1) × π
    0.744049072265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.33749909927318
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50980893} λ = -0.50980893}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.33749909927318))-π/2
    2×atan(10.3553065583651)-π/2
    2×1.47452599828989-π/2
    2.94905199657978-1.57079632675     		φ = 1.37825567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50980893} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.209900°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37825567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.968233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54901 KachelY 16774 -0.50980893 1.37825567 -29.209900 78.968233
    Oben rechts KachelX + 1 54902 KachelY 16774 -0.50976099 1.37825567 -29.207153 78.968233
    Unten links KachelX 54901 KachelY + 1 16775 -0.50980893 1.37824650 -29.209900 78.967708
    Unten rechts KachelX + 1 54902 KachelY + 1 16775 -0.50976099 1.37824650 -29.207153 78.967708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37825567-1.37824650) × R
    9.17000000000279e-06 × 6371000     		dl = 58.4220700000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37825567-1.37824650) × R
    9.17000000000279e-06 × 6371000     		dr = 58.4220700000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50980893--0.50976099) × cos(1.37825567) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.191353218489159 × 6371000     		do = 58.44419835853m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50980893--0.50976099) × cos(1.37824650) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.19136221903089 × 6371000     		du = 58.4469473556486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37825567)-sin(1.37824650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.191353218489159-0.19136221903089)×R²
    abs(-0.50976099--0.50980893)×9.00054173094689e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.00054173094689e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.00054173094689e-06×40589641000000     		ar = 3414.51134874532m²