Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54898 / 42530
↖ ↑ ↗
← N 53.275068°
W 29.218140°		 ← 182.64 m → N 53.275068°
W 29.215393°		 →
↑
182.59 m
↓
↑
182.59 m
↓
N 53.273426°
W 29.218140°		 ← 182.64 m →
33 349 m²		 N 53.273426°
W 29.215393°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418842315673828 y=0.324481964111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418842315673828 × 217)
    floor (0.418842315673828 × 131072)
    floor (54898.5)     		tx = 54898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324481964111328 × 217)
    floor (0.324481964111328 × 131072)
    floor (42530.5)     		ty = 42530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54898 / 42530 ti = "17/54898/42530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54898/42530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54898 ÷ 217
    54898 ÷ 131072     		x = 0.418838500976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42530 ÷ 217
    42530 ÷ 131072     		y = 0.324478149414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418838500976562 × 2 - 1) × π
    -0.162322998046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50995274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324478149414062 × 2 - 1) × π
    0.351043701171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.10283631265901
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50995274} λ = -0.50995274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10283631265901))-π/2
    2×atan(3.01269887326387)-π/2
    2×1.2503108395689-π/2
    2.5006216791378-1.57079632675     		φ = 0.92982535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50995274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.218140°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92982535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.275068°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54898 KachelY 42530 -0.50995274 0.92982535 -29.218140 53.275068
    Oben rechts KachelX + 1 54899 KachelY 42530 -0.50990480 0.92982535 -29.215393 53.275068
    Unten links KachelX 54898 KachelY + 1 42531 -0.50995274 0.92979669 -29.218140 53.273426
    Unten rechts KachelX + 1 54899 KachelY + 1 42531 -0.50990480 0.92979669 -29.215393 53.273426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92982535-0.92979669) × R
    2.86600000000137e-05 × 6371000     		dl = 182.592860000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92982535-0.92979669) × R
    2.86600000000137e-05 × 6371000     		dr = 182.592860000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50995274--0.50990480) × cos(0.92982535) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.59797397609151 × 6371000     		do = 182.636644148372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50995274--0.50990480) × cos(0.92979669) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.597996947280636 × 6371000     		du = 182.643660140809m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92982535)-sin(0.92979669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59797397609151-0.597996947280636)×R²
    abs(-0.50990480--0.50995274)×2.29711891261974e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29711891261974e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29711891261974e-05×40589641000000     		ar = 33348.7877331086m²