Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54896 / 14252
↖ ↑ ↗
← N 80.217990°
W 29.223633°		 ← 51.88 m → N 80.217990°
W 29.220887°		 →
↑
51.92 m
↓
↑
51.92 m
↓
N 80.217523°
W 29.223633°		 ← 51.88 m →
2 694 m²		 N 80.217523°
W 29.220887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14252 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418827056884766 y=0.108737945556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418827056884766 × 217)
    floor (0.418827056884766 × 131072)
    floor (54896.5)     		tx = 54896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108737945556641 × 217)
    floor (0.108737945556641 × 131072)
    floor (14252.5)     		ty = 14252
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54896 / 14252 ti = "17/54896/14252"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54896/14252.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54896 ÷ 217
    54896 ÷ 131072     		x = 0.4188232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14252 ÷ 217
    14252 ÷ 131072     		y = 0.108734130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4188232421875 × 2 - 1) × π
    -0.162353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51004861
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108734130859375 × 2 - 1) × π
    0.78253173828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.45839596011496
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51004861} λ = -0.51004861}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.45839596011496))-π/2
    2×atan(11.6860516052879)-π/2
    2×1.48543218153672-π/2
    2.97086436307345-1.57079632675     		φ = 1.40006804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51004861} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.223633°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40006804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.217990°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54896 KachelY 14252 -0.51004861 1.40006804 -29.223633 80.217990
    Oben rechts KachelX + 1 54897 KachelY 14252 -0.51000068 1.40006804 -29.220887 80.217990
    Unten links KachelX 54896 KachelY + 1 14253 -0.51004861 1.40005989 -29.223633 80.217523
    Unten rechts KachelX + 1 54897 KachelY + 1 14253 -0.51000068 1.40005989 -29.220887 80.217523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40006804-1.40005989) × R
    8.14999999998456e-06 × 6371000     		dl = 51.9236499999016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40006804-1.40005989) × R
    8.14999999998456e-06 × 6371000     		dr = 51.9236499999016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51004861--0.51000068) × cos(1.40006804) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.169900092507238 × 6371000     		do = 51.8810371452297m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51004861--0.51000068) × cos(1.40005989) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.169908124011127 × 6371000     		du = 51.8834896615612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40006804)-sin(1.40005989))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169900092507238-0.169908124011127)×R²
    abs(-0.51000068--0.51004861)×8.0315038893386e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.0315038893386e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.0315038893386e-06×40589641000000     		ar = 2693.91648618521m²