Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54895 / 18669
↖ ↑ ↗
← N 77.926589°
W 29.226379°		 ← 63.88 m → N 77.926589°
W 29.223633°		 →
↑
63.90 m
↓
↑
63.90 m
↓
N 77.926015°
W 29.226379°		 ← 63.89 m →
4 082 m²		 N 77.926015°
W 29.223633°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418819427490234 y=0.142436981201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418819427490234 × 217)
    floor (0.418819427490234 × 131072)
    floor (54895.5)     		tx = 54895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142436981201172 × 217)
    floor (0.142436981201172 × 131072)
    floor (18669.5)     		ty = 18669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54895 / 18669 ti = "17/54895/18669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54895/18669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54895 ÷ 217
    54895 ÷ 131072     		x = 0.418815612792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18669 ÷ 217
    18669 ÷ 131072     		y = 0.142433166503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418815612792969 × 2 - 1) × π
    -0.162368774414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.51009655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.142433166503906 × 2 - 1) × π
    0.715133666992188 × 3.1415926535     		Φ = 2.24665867449317
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51009655} λ = -0.51009655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24665867449317))-π/2
    2×atan(9.45608712637247)-π/2
    2×1.46543594093087-π/2
    2.93087188186173-1.57079632675     		φ = 1.36007556
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51009655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.226379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36007556 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.926589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54895 KachelY 18669 -0.51009655 1.36007556 -29.226379 77.926589
    Oben rechts KachelX + 1 54896 KachelY 18669 -0.51004861 1.36007556 -29.223633 77.926589
    Unten links KachelX 54895 KachelY + 1 18670 -0.51009655 1.36006553 -29.226379 77.926015
    Unten rechts KachelX + 1 54896 KachelY + 1 18670 -0.51004861 1.36006553 -29.223633 77.926015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36007556-1.36006553) × R
    1.00300000001052e-05 × 6371000     		dl = 63.9011300006704m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36007556-1.36006553) × R
    1.00300000001052e-05 × 6371000     		dr = 63.9011300006704m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51009655--0.51004861) × cos(1.36007556) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.209164777844825 × 6371000     		do = 63.8843070551494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51009655--0.51004861) × cos(1.36006553) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.209174585974813 × 6371000     		du = 63.8873027105091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36007556)-sin(1.36006553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.209164777844825-0.209174585974813)×R²
    abs(-0.51004861--0.51009655)×9.8081299883257e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.8081299883257e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.8081299883257e-06×40589641000000     		ar = 4082.3751229257m²