Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54894 / 43055
↖ ↑ ↗
← N 52.404094°
W 29.229126°		 ← 186.34 m → N 52.404094°
W 29.226379°		 →
↑
186.29 m
↓
↑
186.29 m
↓
N 52.402419°
W 29.229126°		 ← 186.34 m →
34 713 m²		 N 52.402419°
W 29.226379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54894 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418811798095703 y=0.328487396240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418811798095703 × 217)
    floor (0.418811798095703 × 131072)
    floor (54894.5)     		tx = 54894
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328487396240234 × 217)
    floor (0.328487396240234 × 131072)
    floor (43055.5)     		ty = 43055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54894 / 43055 ti = "17/54894/43055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54894/43055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54894 ÷ 217
    54894 ÷ 131072     		x = 0.418807983398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43055 ÷ 217
    43055 ÷ 131072     		y = 0.328483581542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418807983398438 × 2 - 1) × π
    -0.162384033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51014449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328483581542969 × 2 - 1) × π
    0.343032836914062 × 3.1415926535     		Φ = 1.07766944035848
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51014449} λ = -0.51014449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07766944035848))-π/2
    2×atan(2.93782479056334)-π/2
    2×1.24271015922239-π/2
    2.48542031844479-1.57079632675     		φ = 0.91462399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51014449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.229126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91462399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.404094°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54894 KachelY 43055 -0.51014449 0.91462399 -29.229126 52.404094
    Oben rechts KachelX + 1 54895 KachelY 43055 -0.51009655 0.91462399 -29.226379 52.404094
    Unten links KachelX 54894 KachelY + 1 43056 -0.51014449 0.91459475 -29.229126 52.402419
    Unten rechts KachelX + 1 54895 KachelY + 1 43056 -0.51009655 0.91459475 -29.226379 52.402419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91462399-0.91459475) × R
    2.92400000000415e-05 × 6371000     		dl = 186.288040000264m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91462399-0.91459475) × R
    2.92400000000415e-05 × 6371000     		dr = 186.288040000264m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51014449--0.51009655) × cos(0.91462399) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.61008854377655 × 6371000     		do = 186.336744948353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51014449--0.51009655) × cos(0.91459475) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.610111711339781 × 6371000     		du = 186.343820918497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91462399)-sin(0.91459475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.61008854377655-0.610111711339781)×R²
    abs(-0.51009655--0.51014449)×2.31675632306194e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31675632306194e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31675632306194e-05×40589641000000     		ar = 34712.9660833182m²