Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54894 / 43054
↖ ↑ ↗
← N 52.405770°
W 29.229126°		 ← 186.33 m → N 52.405770°
W 29.226379°		 →
↑
186.35 m
↓
↑
186.35 m
↓
N 52.404094°
W 29.229126°		 ← 186.34 m →
34 724 m²		 N 52.404094°
W 29.226379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54894 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43054 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418811798095703 y=0.328479766845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418811798095703 × 217)
    floor (0.418811798095703 × 131072)
    floor (54894.5)     		tx = 54894
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328479766845703 × 217)
    floor (0.328479766845703 × 131072)
    floor (43054.5)     		ty = 43054
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54894 / 43054 ti = "17/54894/43054"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54894/43054.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54894 ÷ 217
    54894 ÷ 131072     		x = 0.418807983398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43054 ÷ 217
    43054 ÷ 131072     		y = 0.328475952148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418807983398438 × 2 - 1) × π
    -0.162384033203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51014449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328475952148438 × 2 - 1) × π
    0.343048095703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.0777173772581
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51014449} λ = -0.51014449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0777173772581))-π/2
    2×atan(2.93796562415096)-π/2
    2×1.2427247818213-π/2
    2.4854495636426-1.57079632675     		φ = 0.91465324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51014449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.229126°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91465324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.405770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54894 KachelY 43054 -0.51014449 0.91465324 -29.229126 52.405770
    Oben rechts KachelX + 1 54895 KachelY 43054 -0.51009655 0.91465324 -29.226379 52.405770
    Unten links KachelX 54894 KachelY + 1 43055 -0.51014449 0.91462399 -29.229126 52.404094
    Unten rechts KachelX + 1 54895 KachelY + 1 43055 -0.51009655 0.91462399 -29.226379 52.404094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91465324-0.91462399) × R
    2.92499999999807e-05 × 6371000     		dl = 186.351749999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91465324-0.91462399) × R
    2.92499999999807e-05 × 6371000     		dr = 186.351749999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51014449--0.51009655) × cos(0.91465324) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.610065367768197 × 6371000     		do = 186.329666398851m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51014449--0.51009655) × cos(0.91462399) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.61008854377655 × 6371000     		du = 186.336744948353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91465324)-sin(0.91462399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.610065367768197-0.61008854377655)×R²
    abs(-0.51009655--0.51014449)×2.31760083534427e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.31760083534427e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.31760083534427e-05×40589641000000     		ar = 34723.5189627617m²