Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54893 / 42833
↖ ↑ ↗
← N 52.774524°
W 29.231872°		 ← 184.73 m → N 52.774524°
W 29.229126°		 →
↑
184.76 m
↓
↑
184.76 m
↓
N 52.772863°
W 29.231872°		 ← 184.74 m →
34 131 m²		 N 52.772863°
W 29.229126°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54893 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418804168701172 y=0.326793670654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418804168701172 × 217)
    floor (0.418804168701172 × 131072)
    floor (54893.5)     		tx = 54893
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.326793670654297 × 217)
    floor (0.326793670654297 × 131072)
    floor (42833.5)     		ty = 42833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54893 / 42833 ti = "17/54893/42833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54893/42833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54893 ÷ 217
    54893 ÷ 131072     		x = 0.418800354003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42833 ÷ 217
    42833 ÷ 131072     		y = 0.326789855957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418800354003906 × 2 - 1) × π
    -0.162399291992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.51019242
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.326789855957031 × 2 - 1) × π
    0.346420288085938 × 3.1415926535     		Φ = 1.08831143207413
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51019242} λ = -0.51019242}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08831143207413))-π/2
    2×atan(2.96925604659256)-π/2
    2×1.24594276733198-π/2
    2.49188553466396-1.57079632675     		φ = 0.92108921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51019242} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.231872°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92108921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.774524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54893 KachelY 42833 -0.51019242 0.92108921 -29.231872 52.774524
    Oben rechts KachelX + 1 54894 KachelY 42833 -0.51014449 0.92108921 -29.229126 52.774524
    Unten links KachelX 54893 KachelY + 1 42834 -0.51019242 0.92106021 -29.231872 52.772863
    Unten rechts KachelX + 1 54894 KachelY + 1 42834 -0.51014449 0.92106021 -29.229126 52.772863
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92108921-0.92106021) × R
    2.89999999999457e-05 × 6371000     		dl = 184.758999999654m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92108921-0.92106021) × R
    2.89999999999457e-05 × 6371000     		dr = 184.758999999654m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51019242--0.51014449) × cos(0.92108921) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.604953220208305 × 6371000     		do = 184.729743377958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51019242--0.51014449) × cos(0.92106021) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.604976311523306 × 6371000     		du = 184.736794588782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92108921)-sin(0.92106021))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.604953220208305-0.604976311523306)×R²
    abs(-0.51014449--0.51019242)×2.30913150005563e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.30913150005563e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.30913150005563e-05×40589641000000     		ar = 34131.1340466298m²